C.-A. LAISAM. — liËMARQUES SUR LES COURBES UMCURSALES 27 



points de cette semi-droite est obtenu deux fois, par les deux valeurs difîé- 

 rentes -\- t', — /'. 



Bien que la première droite comprenne la semi-droite en question, il est 

 certain qu'on ne saurait confondre sans inconvénient deux faits géomé- 

 triques présentant une ditîérence aussi notable. 



En réalité, lequipollence générale (3) d'une courbe unicursale représente 

 non seulement une courbe, mais, si nous considérons t comme un temps, 

 le mouvement d'un point mobile sur cette courbe. Ce mouvement peut s'ac- 

 complir, soit sur la trajectoire entière, soit sur une portion seulement de la 

 trajectoire. Il faut donc étudier une unicursale d'après son équipollence (S) 

 ou le système d'équations (1) correspondant, et se garder d'effectuer un 

 changement de variable sur le paramètre arbitraire t. 



Il est toutefois un cas particulier où le changement de paramètre ne sau- 

 rait introduire dans la courbe aucune modification : c'est celui où à chaque 

 valeur de / correspond une seule valeur de t', et réciproquement. Alors, en 

 effet, toute valeur réelle donnée une fois à t sera atteinte une fois par /', et 

 par conséquent tout point Z obtenu par la variation de t sera obtenu éga- 

 lement par la variation de t'. Les paramètres t et t' sont liés dans ce cas 

 par une équation de la forme ait' -\- bt -\- et' -\- d -.= 0. 



2. — Degré d'une courbe unicursale. — Toute courbe unicursale est algé- 

 brique, et il est facile d'en déterminer le degré. Pour cela, supposons réelle 

 la fonction o(t) dans l'équipollence (3) et représentons par m = am -|- b 

 l'équipollence d'une droite quelconque. Un point commun à l'unicursale 

 et à la droite sera donné par la relation 



:=-^ XU -\- B. 



Mais si nous décomposons tous les coefficients du polynôme f{t) suivant 

 les deux directions a et b, nous pouvons donner à ce polynôme la forme 

 Ag{t) -{- Bh{t) ; de telle sorte que nous avons 



Ag{t) -f Bh{t) = AU'^[t) -f B0{t), 



équipollence qui équivaut au système d'équations 



g{t) = U'fit), h(t) = -iit). 



Les degrés de g(t) et h{t) sont égaux, en général, à celui de f{t). Donc les 

 deux équations seront d'un degré égal au plus grand de ceux def{t) et <f(t), 

 c'est-à-dire à celui de f(t) -\- '^(t), ou m. La seconde donnera m valeurs 

 M de t, soit réelles, soit imaginaires; et de la première on tirera un pareil 

 B nombre de valeurs de u. La droite coupe donc la courbe en m points ; et 



