28 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCAiNIQUE 



par conséquent le degré de la courbe unicursale (3) est celui du polynôme 



Dans rexcmple du numéro précédenl, nous avions v. --^ At -\- u, équipol 

 lence qui représente une droite; et l'équipolience z = a/- -[- « tlt)it être 

 considérée comme représentant une courbe du second degré, d'après ce 

 que nous venons de dire. C'est qu'en effet l'intersection de cette ligne avec 

 une droite quelconque donne toujours deux points, confondus en un seul; 

 si bien qu'on doit considérer la ligne i-^Af^ -\-v, comme un cas particulier 

 de la courbe z = a/* -f ci -|- c, où c deviendrait nul; or, il est facile de 

 voir (jue cette dernière représente une parabole. 



Si l'équipolience d'une courbe unicursale est donnée sous la forme 



fit) 

 /. - — :, sans que 9 soit une fonction réelle, on déterminera le degré, 



?(0 



en décomposant 9 en deux facteurs : l'un correspondant à tous les fac- 

 teurs binômes provenant des racines réelles ou des racines imaginaires 

 conjuguées, l'autre aux racines imaginaires non conjuguées; on a alors 

 cp(/) = o,(/).9j(^). Pour rendre réel le dénominateur, il suffira de multiplier 



les deux termes de . ' — par cj o^f/), puisque <pi(/) est réel; Donc, appe- 



?l(0?2</) 



lant m le degré de /*, [i.^ celui de 91, \j.^ celui de 9^, nous aurons dans la 

 nouvelle fraction m -j- \>..^ pour le degré du numérateur et jji, -j- t[i.^ pour 

 celui du dénominateur. C'est le plus grand de ces deux nombres qui don- 

 nera le degré de la courbe. Il est évident, p-i -\- [j.^ étant le degré a de 9(^j, 

 qu'on peut dire encore que, pour avoir le degré de la courbe, il suffit 

 d'ajouter à celui de /'(/) -\- (^(t) le nombre des racines imaginaires non 

 conjuguées de l'équation 9(/) =: 0. 



3. — Première discussion d'une courbe unicursale. — L'équipolience 

 d'une courbe unicursale étant mise sous la forme générale (3), appelons 

 a, b, c . . . les racines réelles, et a, b, c . . . les racines imaginaires de 

 l'équation f{t) = 0; puis a', //, c'. . . les racines réelles, et a', b' g' . . . les 

 racines imaginaires de l'équation (^(t) = 0. 



L'équipolience devient alors 



__ , (t — a)(t — b)...{t — \){t — b) . . . 



{t — a')[t — b').,.{t — A'){t — b') 



Le coefficient k, étant constant, na pour effet que d'imprimer à la courbe 

 une rotation et un changement d'échelle, c'est-à-dire de la transformer en 

 une courbe semblable par rapport à l'origine prise pour centre de similitude. 

 On peut donc le supprimer sans rien particulariser, et l'on a l'équipolience 



, ^ '^ — an^ -b)...[t- x)(t — B) ... ^ fit) 



(t — a'){t — b'}...{l — A'){i — n')...^^{t)' 



