C.-A. LAISA.NT. REMARQUES SUR LES COURBES UMCURSALES 29 



Pour toutes les valeurs a, b, . . . données à t, z s'annule; par suite, la 

 courbe passe par l'origine autant de fois; elle y passe en outre pour 

 / -^ ±: 00 , si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. 



L'origine est donc un point multiple dont l'ordre de multiplicité est égal 

 au nombre des racines a, b, c, . . . ou à ce nombre augmenté d'une unité, 

 suivant que le degré de f{t) n'est pas ou est inférieur à celui de 9(/). 



De même, les racines réelles a', b', c' . . . correspondent à autant de 

 valeurs infinies pour z. Si le degré de f{t) est supérieur à celui de oil), la 

 valeur / ^ riz oo donne en outre pour Z un point à l'infini. On a donc le 

 nombre des branches infinies de la courbe, par la considération du nombre 

 des racines a', b' . . . Il faut seulement remarquer que les deux valeurs 

 ± oc donnent en général deux branches infinies, dans le sens géométrique 

 du mot, si le degré de f{t) est plus grand que celui de o(t). 



Les branches infinies étant déterminées, ainsi que le rôle de l'origine au 

 point de vue de la multiplicité, on peut construire géométriquement la 

 courbe, point par point, d'une façon simple. Si, en effet, on désigne par 

 Oa, 06, . . . Oa', 06' ... les racines réelles a, 6, . . . a', b' ,. . . et par OA, . . . 

 OA'. . . les racines imaginaires a, . . . a', . . ., en appelant T un point va- 

 riable sur l'origine des inclinaisons, depuis — x jusqu'à -|- oc , on aura 



flT.6T...AT.BT... 



a'T.6'T...A'T.BT 



expression dont la construction est très facile et donne un point Z pour 

 chaque position du point ï. 



4, — Tangente; poàaire. — La tangente à la courbez =r — s'obtiendra 



. dz nt)o{t) - fity^'d) . .',,., 

 en formant 1 expression — - ; i • '-i ' *î^* représente la vitesse, 



rfz 

 si l'on regarde t comme un temps. La courbe Zj = — , appelée hodographe 



du mouvement, peut être assez commode dans certains cas pour cette 



détermination de la tangente. L'hodographe est évidemment aussi une 



unicursale. 



La podaire relative à l'origine s'obtient, comme l'on sait, en décompo- 



f^z , ^ , . , , • X . dz 



sant le rapport z : — sous la forme m -+- u.i et en écrivant v = la — . 

 '-^ dt dt 



La podaire d'une unicursale est donc aussi une unicursale. 



dz 



o. — Asijmpioles. — En examinant l'expression — et regardant vers 



quelle direction elle tend lorsque t tend vers une valeur qui rend z de gran- 

 deur infinie, on a la direction asymptotique de la branche infinie corres- 



