30 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



pondanle. Pour dûterminer l'asymptote elle-même, le mieux est peut-être, 



en général, de prendre le point correspondant de la podaire. Si ce point 



est à distance finie, on a immédiatement l'asymptote; s'il s'éloigne à 



l'infini, la branche considérée est parabolique. 



(3. — Centre de courbure ; développée. — On sait qu'en posant 



d^7. dz i d'/j 



— '-:--= /-(-/./, le rayon de courbure ZR est ZR =7 — . L'équipollence 



dl' dl ^ ^ Idl ^ ^ 



de la développée est donc 



, i d'A 



R = 



et il s'ensuit que la développée d'une unicursale est aussi une unicursale. 

 7. — Courbes unicursales parement pat^aboliquefi. — Les unicursales 

 les plus simples à étudier sont évidemment celles oii le dénominateur cp(/) 

 disparaît, c'est-à-dire dont l'équipollence est de la forme 



z = c,r + c,r-' + ...+c„_,i + c,,. 



Elles ne présentent que deux branches infinies, correspondant aux 

 valeurs ±: oc de f. Si m est pair, ces deux branches ont même direction. 

 Si m est impair, elles ont des directions opposées. Ces deux branches sont 

 paraboliques ; car si nous décomposons tous les coefficients, sauf les 

 deux premiers, suivant les directions c^, Ci, nous pouvons écrire 



z = c„(r + .,r-' + ...) + c,(r-' + ?,r-^ +,..). 



La direction asymptotique des branches paraboliques est celle de c^ ; et 



le coefficient de Ci tendatit vers l'infini, il en résulte que les seules 

 asymptotes possibles s'éloignent à l'infini. 



On remarquera, d'ailleurs, que cette démonstration s'étend au cas où 

 plusieurs des coefficients Cj, c^, ... viendraient à s'annuler. Il suffirait de 

 décomposer suivant c^ et c , en appelant c le premier coefficient qui ne 

 s'annule pas. 



En transportant l'origine en un point de la courbe, on peut toujours 

 supposer nul le terme c,,^. Les unicursales que nous considérons, et qu'on 

 peut appeler purement paraboliques, peuvent alors être engendrées par 

 la méthode cinématique que voici : Concevom, sur m droites rayonnantes, 

 0X1, 0X2, ... OX^, des points mobiles Xi, Xj, ... X^^^, animés de mouve- 

 ments tels que l'espace parcouru soit projwrtionnel au temps, au carré du 

 temps , ... à la m" puissance du temps. Le centre de gravité de ces m points 

 décrira une unicursale purement parabolique. 



Il est clair que la direction asymptotique sera celle de la droite OX,,^. 



