C.-A. LAISANT. — REMARQUES SUR LES COURBES UMCURSALES 33 



u et V étant des fonctions entières d'un certain paramètre t, que l'on 

 suppose réel. 



Si l'on considère, par extension, les courbes dont l'équipollence est 

 de la forme 



uz'^ -f vz -f- w = 0, 



u, V, w étant des fonctions entières du paramètre réel t, elles fourniront 

 une classe intéressante de courbes algébriques, dont la construction sera 

 relativement facile, puisqu'on aura chaque couple de valeurs de z répon- 

 dant à une valeur de t par une équipollencc du second degré. On peut 

 donner à ces courbes, par analogie, le nom de bicursales. 



De même qu'on démontre très facilement que toutes les coniques sont 

 des unicursales, on établira, d'une façon analogue, que toutes les cubiques 

 sont des bicursales. Rappelons qu'il suffît, pour cela, de prendre l'origine 



sur la courbe, et de poser - =t, ij eix étant les coordonnées cartésiennes 



d'un point de la courbe. 



On verrait comme ci-dessus qu'en supposant que l'extrémité du para- 

 mètre / décrive une droite ou une circonférence, au lieu de supposer ce 

 paramètre réel, on a encore une bicursale. 



Un cas particulier intéressant est celui où la fonction v"' — 4u\v est le 

 carré parfait d'une fonction entière r. L'équipollence de la courbe peut, 

 en effet, s'écrire alors 



(2uz -f. V — r) (2ux + V -)- r; = 0, 



et Ton voit que la bicursale se décompose en ce cas en deux unicursales 

 que l'on peut étudier séparément. 



H. — Le trifoliwn. — On pourrait appliquer à de nombreux exemples 

 les considérations qui précèdent, notamment en ce qui concerne les 

 cubiques et les quartiques. Pour nous borner, nous nous contenterons ici 

 d'ajouter quelques brèves remarques sur une courbe très intéressante, le 

 trifolium, qui a été étudiée par plusieurs auteurs, et surtout par MM. Bro- 

 card et de Longchamps, dans d'intéressants mémoires. 



Le trifolium est une quartique unicursale à point triple, limitée de 

 toutes parts. Cette seule définition permet d'en trouver l'équipollence 



générale z =: — -. H faut, en effet, que les fonctions /' et 9 ne surpassent 



pas le 4« degré. L'équation f{t) — doit avoir trois racines réelles ; appe_ 

 lons-les a, b, c, et soit a la racine imaginaire, en supposant que /" atteigne 

 le 4« degré. L'équation -^(t) = ne peut avoir aucune racine réelle, puis - 

 qu'il n'y a pas de branche infinie. Soient a', b', c', d' ses quatre racines. 



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