38 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



division ; il faut étudier chaque cas particulier en ayant égard à la ques- 

 tion qui a fourni ces nombres. En pratique, on la ramène au cas des 

 longueurs en prenant sur une règle divisée des longueurs proportion- 

 nelles aux nombres donnés, et l'on doit faire le plus souvent ainsi, mais 

 en sachant bien que l'on sort de la Géométrogrophie pure qui n'autorise 

 l'usage que de la règle et du compas. Pour ramener la question à la 

 Géométrographie pure, il faudrait porter sur une ligne m -(- n fois une 

 longueur quelconque, etc., et cela éloignerait trop de la construction que 

 l'on fait pratiquement. Encore si porter m -{- n fois une longueur sur 

 une droite de façon à marquer les divisions m, et m -j- n est facile, 

 quoique long et peu pratique, il n'est nullement commode, peut-être 

 pas possible, d'indiquer le moyen de marquer ces divisions le plus sim- 

 plement possible par une méthode générale. La question revient au pro- 

 blème : Étant donnée une longueur, trouver une droite m fois plus longue. 

 Porter la longueur m fois à la suite d'elle-même sur une droite est une 

 solution, mais non la plus simple. En étudiant le problème, on est conduit 

 à une question d'arithmologie tout à fait analogue à la suivante, qui 

 semble fort difTicile : Combien faut-il effectuer de multiplications, au moins, 

 pour calculer A"", le nombre A étant donné? 



La question de la multiplication de la droite par un nombre aurait, 

 du reste, à la rigueur, exigé un nouveau symbole pour représenter l'opé- 

 ration, qui consiste à fixer sur une hgne donnée la pointe d'un compas, 

 lorsque l'autre pointe est fixée; mais, à cause de la nature mixte des 

 problèmes où l'on en ferait usage et surtout parce que l'on s'éloignerait 

 trop de ce que l'on fait pratiquement, nous ne nous sommes pas arrêté 

 à cette considération. 



Il est un point qui mérite aussi quelques mots d'explications, lesquelles 

 répondront à une objection que je m'étais faite à l'origine et qui doit 

 venir à l'esprit de ceux qui examinent notre méthode. Est-il légitime de 

 supposer identiques les opérations Cj, Cj, C3, Ri, R^, pour composer le 

 coefficient de simplicité et le coefficient d'exactitude? Non, évidemment, 

 s'il s'agissait dans la Géométrograjjhie d'une mesure absolue. Mais ce 

 n'est nullement le cas, et j'assimile ces opérations parce qu'elles sont 

 élémentaires, c'est-à-dire indécomposables en d'autres plus simples, et 

 que, spéculativement, elles ne sont ni plus simples ni moins simples les 

 tines que les autres. On peut ne pas faire cette assimilation du reste, en se 

 contentant du symbole complet. Le mot de mesure ne peut pas être exact 

 avec le sens habituel de ce mot qui s'applique à la comparaison d'une gran- 

 deur avec une unité de même nature; une construction n'est pas une gran- 

 deur et elle s'exécute au moyen d'opérations élémentaires irréductibles entre 

 elles. Si j'emploie l'expression mesure, c'est que je trouve qu'elle s'appliquç 

 mieux au but poursuivi que le mot général de comparaison. 



