54 MATUKMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Par K je mène une parallèle à LH (sans tracer LHj 



op.: (2R, 4- R, + 6C. + 2C3) 



qui coupe OH en G; GH est la longueur cherchée. 



Op. : [m, + 3R, + llCi + (n + SjCa]. 



Simplicité 19 +n; exactitude w -|- 10 (les C3 de OL comptent évidem- 

 ment ici, sauf l'avant-dernier, pour estimer l'exactitude); 3 droites, (n -|- 3j 

 cercles . 



Remarque. — Pour certaines valeurs de n: 2,3, 4, 2p, etc. par exemple, 

 on peut trouver des constructions particulières plus simples. 



XXXII. — Divise?' une droite AR en p parties proportionnelles à des 

 droites données Uj, n.^, ... n . 



Je mène par R une droite RX op. : (Rj + R^) ; 



Je prends sur RX, RXj = n^\ NjxN^ = n.^, . . . N ,N = w . . . 



op. : [^(3Ci + C3)]. 



Je trace AN^ op.: (2Ri + R.,). 



En chacun des points N ,, iN„_^, . . . Xj, je fais avec N R des angles 

 égauxà RNpA, op.: [2(;j — 1)R, + (jo — 1)R,+ (2p-f l)C, + (2/) — IjC^J. 



Op. : [(ip + l)Ri + <> + 1,)R. + i5p + IjCi + (3yj - ijCj; simpli- 

 cité lljo -f 2' exactitude 7j9 + 2; (j? + 1) droites, (3jj — Ij cercles. 



Remarque. — Si les parties n,, w^, ... n étaient trop petites ou trop 

 grandes pour être employées directement, on les rendrait toutes À fois 

 plus grandes ou 1 fois plus petites, ce que nous savons faire par les opéra- 

 tions XXX ou XXXI, et l'on calculerait facilement le symbole, lequel serait 

 alors plus compliqué. 



Si plusieurs des parties Wj, w^, ... n ^ sont égales sans qu'elles le soient 

 toutes, et que l'on ait plusieurs compas (*), le symbole général se sim- 

 plifie. 



(*) Nous supposons toujours, si Ton ne prévient du contraire, que l'on ne se sert que d'un seul 

 compas ; mais il y a des opérations où il est avantageux d'en avoir plusieurs ; cela arrive si, ayant 

 pris avec le compas une certaine longueur, on a encore besoin de celte même longueur dans la suite 

 de la co nstruction après avoir été obligé de déranger l'ouverture du compas pour prendre une autre 

 longueur; chaque fois que l'on n'est pas obligé de faire ce changement d'ouverture, on gagne : 

 op. : (2C1) . Remarquons encore que si la construction se déduit du raisonnement géométrique, l'ordre 

 des constructions n'a pas besoin de suivre l'ordre de ce raisonnement. Ainsi, si le raisonnement 

 montre à diverses parties de son développement, que l'on a à construire plusieurs cercles de même 

 rayon dont les centres sont déjà fixés lorsque l'on construit le premier, il faudra évidemment les 

 décrire tous pendant que l'on a ce rayon dans l'ouverture du compas, etc. ; aussi est-il nécessaire, 

 pour toute construction faite avec soin, de l'étudier à l'avance dans son ensemble, d'en faire l'étude 

 par une sorte de croquis raisonné pour arriver le plus simplement possible au résultat cherché ; il y 

 a un or< véritable des constructions géométriques dont on ne s'est jamais systématiquement préoc- 

 cupé ; le géomètre, comme je l'ai di'jàfait remarquer, dit aussi simplement: « Je prends la polaire de A 

 par rap port au cercle » qu'il dit : « Je joins les deux points A et B » et la chose exécutée est 

 bien différente. Le géomètre cherche la simplicité delà plirase, de la déduction, de l'idée , si l'énoncé 

 de la conslruction qu'il indique est simple, il dit : « La construction est simple » ; c'est de cette sim- 

 plicité d ont on s'est exclusivement occupé jusqu'ici. L'art de la conslruction géométrique ou Géométro- 

 graphie se place à un tout autre point de vue. 



