É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 57 



devenir les plus simples; mais avant de les accepter pour établir le 

 symbole d'une construction, il faut : pour les premières, examiner si les 

 conditions restrictives qu'elles exigent sont remplies; pour les secondes, 

 si leur emploi simplifie effectivement la construction. 



XXXIV. — Construire la troisième proportionnelle X := 



M 



Si, dans les constructions du problème XXXIII, on suppose N = P, on 

 aura la construction cherchée. 



La construction a) donnera . . . .op.: (4Ri -{- iR^ + lOCj + 4C3); 



b) .) . . op. : (2R, + 2R, + OC^ + C, + 6C3), 



par une modification facile, en remplaçant le cercle passant en A et 



en R par un cercle tangent çn A à RA, puisque A et R se confondent. 



c) donnera op : (iR^ + 2R, + oCi + C, + SC.,). 



Il suffira de prendre sur le cercle tracé au commencement de la cons- 

 truction, corde RA = corde RR = N , A et R étant pris de part et d'autre 

 de R, de prendre corde RC = M, de tracer RC qui coupera AR en H, 

 RH est la longueur cherchée (*). 



d) Construction non généi^ale puisqu'elle exige 2N -< M ; on trouve . . 

 op. : (6C, + C, + 4C3J. 



La plus simple construction générale que je connaisse de la troisième 



proportionnelle X = — , dérivée de XXXIII, se déduit donc de c par le 



symbole : 



Op.: (4R, + 2R, + oCi + C^ + SCg) ; simplicité 15 ; exactitude 10; 

 2 droites, 3 cercles. 



Si Von a .• N <; 2M, en voici encore une fort simple : 



Je trace R(M), R est quelconque op.: (2Ct -f C3). 



A étant quelconque sur R(M), je trace A(N) . .op.: (2Ci + Cjj -f C3). 



Je trace RD qui coupe A(N) en G . . . . . . . . op..- (2Ri -f- ^^2)^ 



on a CD = X. 



Op.: (2Ri + R2 + 4Ci -4- C, + 2C3); simplicité 10; exactitude 7; 

 1 droite, 2 cercles. 



XXXIV'"'. — Dam un triangle ARC, construire les longueurs : 



6* c^ c' a' a* b^ bc ca ab 



— , — , —, —, — , — , — , — _ , — . 



aabbccabc 



La construction pour ciiacune d'elles est plus simple que les construc- 

 tions générales XXXIII et XXXIV, parce qu'elle est exécutée dans un 

 triangle tracé. 



{*) Cette construction donne le théorème suivant : Si dans un trkmyle ARC on mène du point A la 

 perpendiculaire au nn/on OR du cercle circonscril à ARC, celte perpendicuUnve coupera le côU; CR en un 

 point H el l'on aura AR2 r= RH . RC. ■ 



