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HG = V BC: 1)H = ^-^ hC: DF = ^ BC: EF = ^^ BC ; 

 U ^ 'j b 



DE = 14^ BC : KL = ^^ BC ; GI =^ IF == -^ BC, etc.. etc. 



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2v3 



On voit que si, au lieu de prendre CD = BC, on prenait CD - m . BC 

 im étant entier ou fractionnaire», on aurait pour toutes les lignes, dont 

 nous venons de donner les longueurs pour le cas particulier de »j = 1, 

 des longueurs différentes très variées dont on pourra profiter pour cons- 

 truire les longueurs des formes : 



/.BC. i-BC, ^.BC, L^BC. ^.BC, 

 / n m n 



l, ut, n étant des nombres entiers. 



C'est une étude à faire pour chaque cas et qui n'est point sans présenter 

 certaines difficultés. Létude pourrait être faite pour le cas plus général où 

 le triangle AB'C ne serait plus équilatéral. Je constniis un triangle ABC 

 dont les côtés BC, C'A, B'A sont / . BC, m . BC. n .BC: je prends D sur 

 B'C tel que CD' = d . BC : je prends sur B'A, B'E = p .BC et sur 

 C'A, C'H = q . BC, et je mène les mêmes droites que précédemment avec 

 les mêmes notations et je calcule les longueurs HF, FC, etc., etc.; il me 

 semble que l'on pourra toujours choisir, et même dune infinité de façons, 

 les nombres entiers/, m. n,d, p, q, de manière à obtenir, parmi les l^n- 

 gueurs HF. FC, etc., toutes les expressions des formes: 



^ . BC. - 



-■■\\/'v ^^' 



T., 8, V. étant des nombres entiers. 



A cette question d'analyse indéterminée, assez imprévue à propos de 

 notre sujet et que je crois très difficile et fort intéressante par elle-même sans 

 que je puisse l'étudier en détail, s'en rattachent une foule d'autres comme 

 les suivantes : Parmi les nombres 1, m, n, d, p, q, combien peuvent être 

 choisis arbitrairement pour que Fon puisse déterminer les autres de façon 

 que lune des quantités HF, FC, etc., ail une valeur donnée, ou encore : 



Étanl donné un triangle AB'C dont les côtés sont des nombres entiers, 

 peut-on toujours trouver une transversale DEF qui divise les côtés du triangle 

 en segments qui soient des nombres entiers, ou à quelles conditions le pro- 

 blème est-il possible? On ramène immédiatement, par le théorème de Méné- 

 laiis, cette dernière question à celle-ci : a, b, c élan/ des nombres entiers, 

 l'équation ayz — bzx — cxy -|- bcx — cay — abz -{- abc = 0. a-t-elle 

 toujours [jour x, y, z des solutions entières, positives ou négatives, dont au- 

 cune n'est zéro ? 



