78 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



LU. — Tfcicer la droite de Lemoine. 



Je fais en A et en B, de l'autre côté de AB que le point C, les angles 

 BAA', ABB' égaux à C. 



A' étant sur CB, B' sur CA, je trace A'B', c'est la droite cherchée. 



Op. : (GRi + 3R2 4-6C1 4- 4C,); simplicité 19 ; exactitude 12 ; 3 droites; 

 4 cercles. 



Un cas très intéressant, mais aussi beaucoup plus délicat que le problème 

 de trouver une construction déterminée le plus simplement possible, se 

 présentera très souvent dans la géométrie du triangle : c'est de comijiner 

 une construction qui donne le moyen le plus simple de trouver, dans un 

 même ensemble de constructions, plusieurs résultats dont on a également 

 besoin. Si le lecteur veut s'exercer à quelques cas simples, il verra rapi- 

 dement, s'il en doute encore, qu'il y a un a7't véritablement nouveau 

 des constructions géométriques. Cette recherche exige que l'on possède à 

 fond la géométrie du triangle, que l'on ait une grande présence d'esprit 

 pour choisir les constructions quand on fera le croquis de sa construc- 

 tion, et beaucoup de réflexion. 



Il arrivera souvent que la combinaison des constructions les plus simples 

 pour chaque résultat isolé ne donnera pas du tout le résultat le plus 

 simple cherché, qui s'obtiendra par des voies différentes. Le problème se 

 complique rapidement et présente souvent des diflicultés que n'aurait pu 

 faire prévoir la théorie si simple de l'art des constructions. 



Nous allons en donner brièvement un exemple des plus élémentaires. 



Lin. — Placer le centre de gravité et le point de Lemoine d'un triangle ABC 



en une même construction. 



L'addition des constructions Ll et LU nous donnerait un symbole de 

 simplicité 43 qui se simplifierait évidemment un peu en utilisant dans les 

 constructions les cercles de même rayon a, b ou c, que l'on peut tracer 

 pour une des constructions et qui serviraient à l'autre lorsque leur centre 

 se trouverait placé sur l'épure au moment où l'on aurait la longueur conve- 

 nable entre les branches du compas, mais il est facile de prévoir que le 

 compte total dépasserait 32, car au moment où nous placerions K nous 

 aurions au moins 26 (puisque c'est le nombre que nous considérons comme 

 donné par la construction la plus simple de K;, et il resterait à trouver le 

 barycentre, ce qui exigerait au moins le tracé de deux droites ou six opé- 

 rations élémentaires, car aucune médiane n'a été tracée dans la construc- 

 tion de K. Les lignes qui précèdent ne sont pas une démonstration rigou- 

 reuse que 32 serait dépassé, mais elles le montrent suffisamment. 



Nous allons donner une construction qui place ces deux points par le 

 symbole : 



