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2° Je trace les trois tangentes en A, en B et en C (voir construction XXV). 



op. :(6Hi + 3R, + 12Ci-[-9C,). 



3" Je joins BB', ce op. : (4Ri -f 2R,). 



4° Je trace le cercle OK (construction XIX) 



op. : (2R, -f R, + 4C,-f-3C3). 



5° Je mène par A une parallèle à BC (construction XVII) en me servant 

 de la construction 1° et en remarquant que le cercle circonscrit déjà tracé 

 me permet une économie de op. : (Ci-f-Ca). op. : 2Ri-|-2R2+ 3Ci + Cg). 



6° Je joins DB, EC op. : (4R, + 2R,). 



En lout : op. : (22R, + ilR, + 24C, + 170,) ; simplicité 74; exac- 

 titude 46; 11 droites, 17 cercles. 



Notre construction LV donne : simplicité 38; exactitude 24; 6 droites, 



8 cercles. 



Et cependant, si M. Brocard avait eu l'attention attirée sur le point de 

 la construction effectuée, il n'aurait pu songer qu'à la solution que nous 

 avons développée, car elle est, en principe, de lui. (A. F., 1881, Congrès 

 d'Alger, 10, p. 14(3.) 



Je dois ajouter qu'en appliquant complètement notre méthode l'on peut 

 réduire de quelques unités le symbole de la construction qu'il nous a 

 envoyée; en efîet, pour tracer les trois tangentes en A, en B et en C, l'on 

 peut faire en A l'angle B'AC == B en utilisant les cercles de même rayon 

 décrits de A, B, C dans le tracé du cercle circonscrit. 



On les a ainsi par op. : (GRi + 3R, -f 9Ci -f SCg). 



Pour mener la parallèle en A à BC, on peut se servir des mêmes cercles 

 et gagner encore deux opérations élémentaires en faisant angle EAB = C, 

 pendant que l'on a la longueur de la corde de l'arc correspondant à C 

 dans le compas, pour tracer l'angle B'^^C. 



On a alors cette parallèle par op. : (2Ri -f R^ + Ci + C^). 



Les points w et o/ eussent ainsi été donnés par : 



Op. : (18Ri + 9R, + IQCi + IIC3); simplicité 37; exactitude 37; 



9 droites, H cercles. 



Je n'ai pas fait ces simplifications parce qu'elles dérivent trop de l'esprit 

 de la méthode que nous venons d'exposer pour croire qu'un géomètre, 

 quelque habile qu'il soit, construisant une figure com7ne tout le monde le 

 fait jusqu'ici, eût eu la pensée de les introduire; mais, même ainsi simpli- 

 fiée, la construction reste beaucoup trop compliquée. 



J'ai cité deux exemples qui me paraissent caractéristiques. 



A duobus discete omnes. 



Je crois que tout ce que nous venons d'exposer présente la Géométro- 

 graphie comme un corps de doctrine à peu près complet en ce qui concerne 

 la géométrie de la droite et du cercle telle que l'entendaient les Grecs, 

 mais il reste deux applications à faire en détail au point de vue moderne : 



