104 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



De celle équation, on conclut le théorème suivant: 



// existe une infinité de groupes de trois cercles M,^, M^, M^ passant respec- 

 tivement jtar B et C, C et A, k et B, et ayant un centre radical donné M 

 (c'est-à-dire se coupant deux à deux sur les droites MA, MB, MC) : le centre 

 radical W^de trois cercles M'^, M^, M^, symétriques jiar rapport à BC, CA, 

 AB (le trois cercles de l'un de ces groupes, décrit une conique représentée par 

 C équation (7). 



Celte conique passe par A, B, C, M; c'est une hyperbole équilatère, car 

 l'équalion (7) admet la solution : 



\ \ 1 



a : |3 : Y ^^ 



cos A cos B cos i\ 



de sorte que la courbe passe par l'orthocenlre H de AIC 



L'équalion (7) exprime que les inverses des points M, M' sont en ligne 

 droite avec le centre du cercle ABC. Par suite, si M- désigne l'inverse 

 de M. Vhyperhole (7) est la transformée par inversion triangulaire du dia- 

 mètre OM. (lu cercle ABC. 



Toutefois, si M est l'orlhocentre 11, l'équation (7) devient une identité; 

 mais, si l'on remonte aux égalités (6j, on voit que M' coïncide aussi avec H. 

 De là, un théorème assez curieux. 



4. — Le groupe des cercles M^,, M^,, M^ qui a pour centre radical le 

 point M comprend, comme cas particulier, les cercles BCM, CAM, ABM. 

 Les cercles M^, M.^, M^ qui leur correspondent, j)assent aussi par un 

 même point M , appelé \(i jumeau de M (*). 



Les coordonnées de M résulleut des égalités (6). A cet eiïet, cherchons 

 d'abord la valeur de A en exprimant que les cercles {1') passent par le 

 point (a, [3, Y), ce qui donne : 



X = 



y/'h 



On trouve ensuite 



1111 1 1 



-, : 1 : i, :^ ^ + 2 cos A : - + 2 cos B : - + 2 cos C; 



a p Y /.a Ap Ay 



donc: 



a' : p' : y' 



Val^Y — 2acosA^aa V^/^^j,, _2,3cos B Vaa V^,8y — SycdsC V^a 



(•) Pour une i_Hude des points jumeaux, nuus ivuvuyoïis à un article de M. Schuule, dans le bulletin 

 de Darboiix, 1882. 



