K. LEMOINK. — GKOMKTRIE DU TRIANGLE lOo 



Les deux faisceaux M(ABCj, .M^(ABC) étant inversement égaux (par 

 suite homograpliiquesj, les intersections A, H, C des couples de rayons 

 homologues sont sur une conique passant par M et M-, et ayant pour 

 centre le milieu de MM (car si l'on transporte les deux faisceaux paral- 

 lèlement de manière à intervertir les sommets M et M , les nouvelles 

 intersections des rayons homologues appartiennent à la même conique). 

 Autrement dit, MM est un diamètre de l'hyperbole (7). 



Les inverses des points jumeaux M, M sont, comme on le sait, deux 

 points tripolairement associés, c'est-à-dire décrivant harmoniqucmcnt un 

 diamètre de la circonférence ARC. 



5. — Si nous prenons pour M le centre de gravité de ABC, son inverse 

 sera le point de Lemoine K. Le point tripolairement associé à K, point 

 que nous désignons par T, est à l'intersection de la droite OK avec la 

 droite de Lemoine. Les coordonnées de T sont: 



a(2«- — b^ — c'), etc.. 



et l'on a OT : KT = - cotg'^ (o, m étant l'angle de Brocard. 



Le jumeau du barycentre est l'inverse de T; ses coordonnées sont 



donc: 



1 



a[%i-' — f' — C-) " ' " 



Le jumeau du centre du cercle circonscrit a pour coordonnées: 



sin 2A sin 2P. sin 2C 



siu 3A sin 3B ' sin 3C 



Le jumeau de l'orthocentre H est un point quelconque du cercle cir- 

 conscrit au triangle de référence. 



Le point de Aa</e/ (coordonnées normales ^^ , etc.; a pour jumeau 



le point dont les coordonnées sont : -^ , etc. 



2y; — 'Sa 



6. — Proposons-nous de trouver trois cercles M^,, M^, M^.. passant res- 

 pectivement par B et C, C et A, A et B, et se coupant orthogonalement 

 deux à deux. Soient m^^. œ,^, m^ leurs centres, et p^^, p^, p^ leurs rayons; 

 soient aussi À, u, v les angles oj^JJC, oj^CA, (o^AB comptés comme positifs 

 ou comme négatifs suivant qu'ils sont extérieurs ou intérieurs au triangle. 

 On a les égalités de condition : 



C + a-f pz.:!"- 



