K. LEMOINE. — GKOMÉTRIK DU TRIANGLE i07 



Les coordonnées de M^ni^ sont : 



l (2-- 1)^ + î (-2-'+' +i)l/ + l (2^"+' + ih 

 l (r-"+' + \)x + l (^2-- 1)^ + 1 (2^"+^ + 1)--, 

 i (2^"+^ + 1).. + î (2^"+^ + i)y + ? (2^'^- 1).. 



M. Vigarié (Mathesis, t. VII, 1887, p. 8) s'est occupé de la même 

 question, sans indiquer l'expression qui donne les coordonnées de M . 



Remarque. — Les valeurs des coefficients de x, y, z qui entrent daiu 

 une coordonnée de Mp sont les ternies de la (p — if"" réduite de la fracdion 



continue : — 



9 



1 + - 



2 

 1-f - 



Tous les points Mp se trouvent sur la droite : V ;(// — :;) — qui joint 



le point M au centre du cercle inscrit. 

 Les réduites successives de la fraction continue considérée sont : 



2 2 6 10 20 



î' 3' H' ïï' 21' '^'■' 



et l'on voit facilement par ce qui précède que la réduite de rang 2/; — 1 est ; 



^(2^^-l)+l 



et que la réduite de rang 2^9 est : 



9. — Les dénominateurs de ces réduites se retrouvent encore dans une 

 question toute différente que voici : 



Soit ABC un triangle; AiBiC, le triangle formé par les points de con- 

 tact Al, Bj, Cl du cercle inscrit à ABC; A^B^Cj le triangle formé par les 

 points de contact X^, Bj, C2 du cercle inscrit à AiBjCj; A^BsCg, etc. Ou 



