É. LEMOINK. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 111 



16. — Si, pa?' le point invet^se du point de Gergonne, on mène l'antipa- 

 rallèle à un côté, la surface du triangle formé par cette antiparaUéle et 



les deux autres côtés est la même pour les trois côtés et éaale à : • 



^ (R + Vf 



La transformation continue montre que le même tliéorème a lieu poul- 

 ies transformés continus de l'inverse du point de Gergonne ; la surface est 

 SR^ 



IV, — Triangles triorthologiques ; un exemple de triangles a la fois 



TRIORTHOLOGIQUES ET TRIHOMOLOGIQUES. 



17. — Si les triangles ARC, A'R'C sont triorthologiques par permuta- 

 tion circulaire (Voir Congrès de Limoges, 1890, p. 111) et que les centres 

 d'orthologie soient o,, o^, O3, les triangles ARC, OiO^Og sont également ortho- 

 logiques et les centres d'orthologie sont A', R', C. 



18. — Soit un triangle équilatéral ARC, de chaque sommet comme centre : 

 on décrit trois cercles de rayons Rj, R^, R3 (les trois cercles sont décrits 

 à chaque sommet j, désignant par la notation o(R) la circonférence de 

 centre et de rayon R; on cherche les centres radicaux L, M, N des trois 

 groupes A(Rij, R(Rj, CfRaj; A(R,), RiRj), C(R,); A(R3), R(Rj), C(R,j. 



1° ARC ef LM>' sont trihomologiques et triorthologiques par permutation 

 circulaire. 



2" Appelons Oi, o^, o, respectivement les centres d'homologie de ARC, 

 L>L\; ARCMNL; ARC,ALM; ml ml, m^ les quantités a•^—2R^'+R^+R^^ 

 o-' + Rf — 2R^ + R^, a' + Rf + R^ — 2R:^, qui sont les coordonnées 

 de L; celles de M sont : m'I, m^, m^; celles de N : m^, m^ ml. 



Les coordonnées de o^, o.^, O3 sont : 



111 111 111 



m:/ m'i m'i ml m'i mi' ml' ///^ ' mf. 



"a "c "'0 "'c "'h ""a '"b 



Les trois centres d'homologie et les trois centres d'orthologie de ARC el 

 de L>L\ forment deux triangles èquilatéraux inscrits à un même cercle 

 dont le centre est le centre du cercle circonscrit à ARC; leurs côtés sont 

 perpendiculaires deux à deux. 



3° Les triangles ARC, O1O2O3 sont trihomologiques par permutation cir- 

 culaire. Si Von appelle o\, 0^, 0'^ les centres d'homologie de ARC, o^o^o^; 

 ARC, O2O3O1; ARC, 030,02, les coordonnées de oj, o^, 0'^ sont: m^, m^, m^; 

 K^ '«a' '"6 5 "^6' ^c' *'^aj c'est-à-dirc que o\, o^, O3 se confondent avec L. 

 ÎN, iM. Ce sont des points permutiens. (Poulain, Principes de la Nouvelle 

 Géométrie du triangle, p. 2S.) 



