É. LEMOINE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 113 



Si les six points ^coordonnées normales ou coordonnées barycenlriques) 

 L,. Mj, Xi; Le, Mfi, N^ sont sur une conique, les six droites : 



Ux-{-M,ij-[-^,z = 0; M + M«?/ + N6^=:0 



sont tangentes à une conique et réciproquement. 



Exemple: Les quatre droites \^7 a? =::0 et leurs trois transformées 



continues en A, en B et en C sont tangentes à l'ellipse inscrite de 

 Steiner (ce sont les tangentes communes à cette ellipse et au cercle des 

 neuf points et l'on sait que, aux points de contact de ces tangentes avec 

 le cercle des neuf points, elles sont aussi tangentes aux quatre cercles tan- 

 gents aux trois côtés du triangle). 



abc 



On en conclut que le point : ? ^ 7 et ses trois trans- 



^ b — ce — a a — b 



a b c 



formés continus en A, en B, en C : r ? 1 — » , — ; — . etc., sont 



c — c -\- a b -f- a 



sur une conique circonscrite. 



On vérifiera que cette conique est le cercle circonscrit. 



24. — On sait ivoir Xouv. Corresp. Mathém., 1877, p. ol) que si 

 x\ y', z' ; x" . y", z" sont les coordonnées normales de deux points M', M", 

 les droites AM', BM', CM'; AM", BM", CM" coupant les côtés aux six 

 points : A', B', C ; A", B", C", ces six points sont sur la conique : 



Cela posé, cette conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, sui- 

 vant que la quantité : 



^a^x'-x"-^(y'=." - z'y'r 

 - ^'^bcy'z.y^^'iix'!/" + y'x")(x'z" + zx") + 2x'x"(y'z" + z'y")] 



est plus petite que zéro, plus grande que zéro, ou nulle. 



Si M' et M" sont le barycentre et le point de Lemoine, la conique a pour 



m'" -|- a^ 

 centre le point — — , etc. déjà rencontré (voir A. F., Congrès de Mar- 



seille, 1891, p. 149, et J. S., 1888, p. 2o0j. Ce point est sur la droite qui 

 joint le barycentre et le point de Lemoine. 



25. • — Soient x, y, z les coordonnées normales d'un point M; 



X, Y, Z ses coordonnées tripolaires. 

 On sait que les minima de ax^ -f- by'^ + cz- et de aX'^ -f- 6Y- + cZ'^ 



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