114 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



qui sont respectivement 2.Sr et 4.RS ont lieu en même temps pour le 

 centre du cercle inscrit. (Boutin, /. E., 1891, p. 159.) 

 La transformation continue en A montre que les minima de 



— ax^ -\- hif -\- cz'^ et de — aX^ -j- bT^ -f" c7J qui sont respectivement 



égaux à 2Sr^ et à 4RS ont lieu en même temps pour le point o^. 



Le lieu des points M tels que ; ax^ + bif + cz-'^ = C" est une ellipse de centre o. 



» » —ax-'-\-bif-}-cz^ = 0^ — — 0^. 



» . » aX^-|-6Y'^-|-cZ'^ = C'^ est un cercle de centre 0. 



» » —aX''-{-bY^-\-cZ-' = C"^ — — o„. 



26. — Si un point M appartient à la conique circonscrite qui passe par 

 le point de Lemoine et par le centre de gravité, la droite harmoniquement 

 associée au point M est parallèle à la droite de Lemoine. 



27. — Une parabole dont le piaramètre p est donné, passe par deux 

 points fixes A e^ B dont la distance est c. Le lieu du pôle de AB par rapport 

 à toutes ces paraboles est la courbe représentée par l'équation : 



P = 2^ sin^ c, 



l'origine étant le milieu de AB et l'axe polaire étant OB. 



L aire de cette courbe est ——— • 



lop^ 



Dans un triangle ABC, les paramètres des trois paraboles de Artzt sont 



inversement proportionnelles aux cubes des médianes. 



28. — A e^ A' sont les extrémités du grand axe d'une ellipse. Sur A A' je 

 décris une circonférence ; par A je mène la droite AK'H qui coupe l'ellipse 

 en K', la circonférence en H. 



Soit K le point du cercle tel que KK' soit perpendiculaire à AA', 

 H' — de l'ellipse — HH' — — AA', 



K, K', H, H' étant tous les quatre d'un même côté de AA' ; alors : 

 1° Les trois points A', H', K sont en ligne droite, 

 2° Le lieu du point I où se rencontrent AH et A'K est l'ellipse: 



aif -\- 6a;* = a^b. 



On a un théorème analogue si A et A' sont les extrémités du petit axe. 



29. — Soient les cinq ellipses : 



(1) a'^y^ -{• b^x^ = a^b\ 



(2) (a^ + bHYY + ami + l^x^ = b''{i + l)Ha'' + bHy, 



(3) [a-' — bHyif -f a''b\l — Ifx'' = b\i — Ij^a'' — bHy, 



(4) 0.^6^(1 + l)Hf + {b-' + aHfx^ = a'^(l + Ifib'' + aHy, 



(5) a^b^i — l)Y + (6' — aHyx^ = a\[ — lf{b^ — aHy, 

 et M un point de (1). 



