É. LEMOINE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 119 



38. — L'axe radical du premier cercle de Lemoine et du second cercle 

 de Lemoi.ne (*) a pour équation : 



2^^(6-2 _|_ c-^ _ 2a2) ^ 0, 



il passe par le point de Lemoine ; le premier cercle de Lemoine coupe donc 

 le second cercle de Lemoine suivant un diamètre. 



Si y. est l'angle sous lequel ces deux cercles se coupent et m l'angle de 

 Brocard, on a : cos a ^ '2 sin w. 



39. —Le carré de la corde interceptée sur BC par le cercle de Brocard 



a'Ha'* — Wc'^) 



est : — ^ ; 



m* 



Le cercle de Brocard ne coupe jamais les trois côtés à la fois. Il en 

 coupe deux : si, supposant a > 6 > c, on a : 6^ > 2ac, ce sont alors les côtés 

 CA et BC qu'il coupe ; si a* > 26c et 6* > 2ac, il coupe BC seulement. 



En résumé, le cercle de Bi^ocard : 



Ou coupe le plus grand côté seul ; il peut lui être tangent ; 



Ou coupe les deux plus grands; il peut couper le plus grand et être tan- 

 gent au second ; 



Ou ne coupe aucun côté. 



40 . —La conique Aa;'- + ^if + C::^ + ^yz + Ezx + Fa;;/ — inter- 

 cepte sur le côté BC du triangle de référence un segment dont le carré est : 



a-b^c\J)^ — 4BC) 



[Bf^ + C6'- — UbcY ' 



cette conique touche le côté BC si l'on a D- — 4BC := 0. 



Si, en même temps que D'- — 4BC = 0, m a : Bc^ + C6^ — Dbc — 0, 

 la conique est représentée par : x{kx + Es -|- ¥y) -{- ^^{hy ±: czY =: 

 et coupe BC en son milieu en un point double, c'est-à-dire qu'elle y est 

 tangente à BC. ou bien qu'elle a BC pour asymptote. 



VIII. — Bemarques diverses. 



41. — Le point : — , etc., est le point oit se coupent les deux bro- 



a 



Gardiennes de la droite de Lemoine (coordonnées normales) par rapport à 

 la droite de l'infini {A.F., 1886, Congrès de Nancy, p. 85.) 



(*) Je rappelle les définitions de ces deux cercles : 



Si par le point de Lemoine on mène des parallèles aux côtés, ces parallèle? coupent les côtés en 

 six points qui appartiennent au premier cercle de Lemoine. 



Si par le point de Lemoine on mène des antiparallèles aux trois côtés, chaque antiparallèle à un 

 côté coupa les deux autres côtés en deux points ; les six points ainsi obtenus sont sur le second 

 ■cercle de Lemoine, 



