122 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



a^ — bc, 



48. — Le point qui a pour coordonnées normales : etc. , est 



à V intersection des deux droites : V£ur(b + c) = O.^axfb — c) = 0. 



La première passe par le point a(b — cj, etc., de Vaxe antiorthique et 

 2Mr le point à l'infini: , etc.; la seconde passe par le centre du 



cercle inscrit o, par le centre de gravité du périmètre G^^ et par le point © 

 dont les coordonnées sont : a(b -f- c), etc. 



On a: —^= — ^ ,„ ^ ■ • 



49. — Soit ABC un triangle, A'B'C le triangle formé par les pieds des 

 hauteurs ; le cercle inscrit à A'B'C touche B'C, C'A', A'B' en a, [i, y. Les 

 trois droites Aa, B,3, Cy se coupent au point dont les coordonnées sont : 

 a tg A, b tg B, c tg C. 



Si l'on veut placer ce point, on trouve qu'il faut placer l'orthocentre 

 de ABC centre du cercle inscrit de A'B'C. op : {AR^ + 2R, + GC^ + 6C3) ; 

 tracer deux des côtés du triangle A'B'C, A'B', A'C par exemple, ce qui 

 exige qu'on trace la troisième hauteur, op : (6R1 -{- SR.^) ; déterminer les 

 points de contact y et [B sur A'B', A'C du cercle inscrit à A'B'C, ce qui 

 se fait en abaissant de l'orthocentre des perpendiculaires sur ces côtés, 

 op : (4Ri 4- 2R, -j- 5Ci + SC3) ; enfin tracer Bp, Cy, op : (4Ri + 2R,) ; 

 on a donc le symbole, op . ÇlT". + OR, + IIC^ -f- IIC3). 



Simplicité 49; exactitude 29 ; 9 droites. 11 cercles. 



(b — c)fc — a)(a — b) 



L'aire du triangle NXK est : — 

 L'aire du triangle NXG est : 



Z6 



(b — c)(c — a)(a — b) 



33 



K est le point de Lemoine, N est le point de Nagel, a le point de 

 Gergonne. 



Les distances du point K et du centre de gravité G à la droite NX sont 

 dans le rapport de 'S à 2. 



Par transformation continue en A, on déduit les aires des triangles dont 

 les sommets sont N^, \^, K ^ et N^^, \, G„ on en déduit aussi que les dis- 

 tances du point I\, et du point G, à la droite \X^j sont dans le rapport de 



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3 à Î2 ; K et G„ sont les transformés continus en A : — a, b, c; » t ' - 



abc 

 du point de Lemoine K et du centre de gravité G. 



Le triangle qui a pour sommets N, X et l'orthocentre H a pour surface : 



; (^ — <')('■ — a)(a — b) . 



