124 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Le milieu de la droite qui joint les deux points V et Vi a pour coor- 

 données -, etc., c'est le centre de l'hyperbole de Kiepert. 



51. — a). —J'ai donné au Congrès de Marseille, 1891, p. 13o, une con- 

 struction assez simple pour placer le point I : p — a,p — b, p — c. Le 

 théorème suivant, dû à M. Boutin (./. E., 1891, p. 223) en donne une con- 

 truction un peu plus simple au point de vue des opérations de préparation, 

 c'est-à-dire de l'exactitude. Si K, o, o^^, Oj,, o^, A', B', C sont le point de 

 Lemoine, les centres des cercles tangents aux trois côtés et les milieux des 

 côtés du triangle ABC, les droites o^A', Oj^B', o^.C', oK concourent en \. 



Il suffira de tracer o^^A', o^B'. 



Je détermine A' et B' au moyen des trois circonférences A{R), B(R), C(R), 

 R étant quelconque, etc., op. : (4Ri -f- âR.^ -J- 3Ci -|- SCj). 



Au moyen de ces trois circonférences, etc., je trace les droites o^^Co^^, Ao^^ 

 Bo^, op. : (6Ri + 3R, -\- 6Ci -j-GCa) ; puis je trace o,, A'.o^B' : op : (4Ri 4-2R j; 

 en tout : op. : (14Ri -f- TR^ + 9Ci -j- 9C3); simplicité 38 ; exactitude 23 ; 

 7 droites, 9 cercles. 



Le symbole A(R) représente une circonférence de centre A et de rayon R. 



b). — Le point de Tarry est sur la droite qui joint le centre de gravité 

 au centre du cercle de Brocard, droite dont Péquation est : 



yaxic' cos C — b' cos B) = 0. 



c). — Si un point M a pour coordonnées normales : x, y, z, les équations 

 des côtés B'C, C'A', A'B' de son triangle podaire sont : 



— X(i/ -f- z cos A)(s -\- y cos A) -j- Y( ;-[-// cos X){x -\- z eus B) 

 -j- Z(y -\~ z cos A)(a; -f" 1/ cos C) = 0, etc. 



d). — Si M est un point de la cubique qui a pour équation : 



xyz{b'' — c^)(c^ — a^){a^ — ¥) -f- abc \a^yz{by — cz) cos A = 0, 



et que l'on appelle M^, M^^, M^ les points où AM, BM, C.U coupent les mé- 

 diatrices de BC, CA, AB, les points M.^, Mj^, M^ sont en ligne droite. 



Cette cubique passe par les sommets, les milieux des côtés, par le centre 

 du cercle circonscrit et y est tangente aux trois médiatrices. 



e). La droite : Xx -|- By -|- C^ — 0, contient les quatre points : 



(B-Cj, fC-Aj., (A-B), 



(B + G), (C - A), - (A + Bj, 



- (B -f C), (C + A), (A - B), 



(B - C), - (C + A), (A + B). 



