É. LEMOINE. GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 125 



Cette remarque évidente sert souvent dans la géométrie du triangle. 



f). s/ A', B', C et A", B", C" sont respectivement les sommets du 



triangle pcdal du point de Tarry et du point de Steiner, B'C, B"C" se 

 coupent en Ai et AAi passe par le point de Lemoine. (Voir Congrès de 

 Marseille, 1891. p. 1S5, n° 13.) 



g). — Soit >I et W deux points d'une conique ; par M et W je mène deux 

 faisceaux de n droites parallèles qui coupent la conique : le premier en 

 A, B, C, D. . . . le second en A', B', C, D' . . . 



Les deux jtobjgones ABCD . . ., A'BT/D' ... ont même surface. 



h). — Si deux tangentes parallèles à une conique dont les foyers sont 

 F et F' coupent une autre tangente quelconque à cette conique en P et Q et 

 que le quadrilatère FF'PQ soit inscriptible à un cercle, les deux tangentes 

 parallèles sont les tangentes aux extrémités de l'axe focal. Si les deux 

 tangentes parallèles sont quelconques et que T soit le point oii la tangente 

 PQ coupe l'axe focal, le produit TP . TQ est de la forme : b* . K ou K ne 

 dépend que de la direction des tangentes et ou h' est le carré du demi-axe 

 non focal. 



Si l'axe focal varie de grandeur ainsi que la direction des tangentes 

 parallèles, l'axe focal restant fixe ainsi que la direction PQ et le produit 

 TP.TQ, le lieu de P et de Q est une hyperbole équilatère qui a pour 

 asymptotes les axes des coniques. 



i)_ — S/ A' et B' sont les points de contact du cercle inscrit sur BC 

 et sur CA ; A" le pôle de la perpendiculaire à BC, par rapport au 

 cercle de centre C et qui passe par A' et B', menée par le point de contact 

 sur BC du cercle ex-inscrit o^ ; B" le pôle de la perpendiculaire à AC, 

 par rapport au même cercle, menée par le point de contact du cercle 

 ex-inscrit o^. 



1° Les deux cercles décrits sur A'A"e^B'B" coinme diamètres se coupent, 

 se touchent, ou ne se coupent pas suivant que l'on a : 



a -f 6 > 3c ; a + 6 — 3c ; a -[- 6 < 3c. 



2" Ces deux cercles sont respectivement les transformés par polaires 

 réciproques par rapport au cercle de centre C et de rayon CB' = CA' de 

 l'hyperbole de foyers B e< C passant en A et de l'hijperbole de foyers A et C 

 passant en B. 



j), _ Par un point M je mène rantiparallèlc à BC qui coupe AC et AB en A^., A,^, 

 » ,) CA » BA et BC en B^, B„ 



» ■ » AB » CB et CA en C^, C^^. 



Le point M pour lequel on a: 



AA, + AA, = BB^, + BB, = CC, + CC„ 



