126 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



est situé sur la droite qui joint le point de Lemoine au centre du cercle 

 circonscrit et il a pour coordonnées ; a -]- "^P cos A, etc. 



, , , ^r. ^b + c)(c + a)fa + b) 

 La somme constante est : zK -n — . ^ c * 



k). — Soit un triangle ABC, ti^ouver un point M tel que si par M on 

 mène des parallèles aux trois côtés, la somme des inverses des segments 

 que M forme sur cette parallèie (segments compris entre M et les côtés) 

 soit la même. 



On trouve le point dont les coordonnées normales sont : 



1 



ab -f- ac — oc 



1). — co est l'angle de Brocard d'un triangle, <p l'angle tel que : 



tg A + tg B + tg C = tg ? 

 On a toujours : 



12 tg <p cotg 3(0 — 3 tg > cotg ^oj — 54 tg 9 cotg to + 12 tg > + 81 < 0. 



m). — Si Von prend par rapport à la droite de F infini, les points brocar- 

 diens direct et rétrogade (voir Congrès de Grenoble, 1883, p. 27, ligne 5, 

 en remontant) de tous les points de la droite de Vinfini, ils sont sur la 

 conique circonscrite de Steiner, 



n). — Soit un triangle ABC et trois circonférences de rayons 1, m, n 

 et de centres A, B, C ; si M est un des deux points tels que les puissances 

 de M par rapport à ces trois cercles soient respectivement proportionnelles 

 à a*, b'*, c^ et que nous appelions X, Y, Z les côtés du triangle podaire 

 de M, on aura : 



X^ — l^ sin^ A = Y^ — ni^ sin^ B = 7J — n'' s'm' C. 



On en conclut que les triangles podaires des centres isodynamiques sont 

 de's triangles équilatéraux. (Sghoute, Verslagen en mededeelingen, de l'Aca- 

 démie d'Amsterdam, série 3, tome III, p. 89.) 



o). — Dans un triangle ABC considérons le cercle symétrique, par rap- 

 port à la médiatrice BC, du cercle (/'Apollonius ayant son centre sur BC, 

 et les deux autres cercles analogues. 



On sait que si le t?'iangle ABC est acutangle, les trois cercles symétriques 



des cercles c?' Apollonius se coupent en deux points réels qu'on appelle les 



centres isologiques {J . E., 1892, p. 70). Soient 3 leur distance et d la distance 



du centre du cercle circonscrit et de Vorthocentre. 



On aura : . 



8R'^m^ 



d' 

 On sait d'ailleurs que d^ = 9R^ 



cos A cos B cos C 



