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parcourue par un train d'un mouvement uniforme, de telle sorte que les 

 quatre premiers trains paraissent immobiles aux A'oyageurs du cinquième. 



Ce problème est du second degré et, par conséquent, peut comporter 

 des solutions imaginaires. 



En vertu des définitions nouvelles, données par la Géométrie générale, 

 le problème doit être posé sous cette forme : 



Ouatre couples de trains confondus, AA, BB, CC, DD, se meuvent en 

 ligne droite avec des vitesses uniformes. 



On demande de trouver deux voies rectilignes qui puissent être parcou- 

 rues avec des vitesses uniformes par deux trains P et P', de telle sorte 

 qu'à tout instant la ligne droite de (iéométrie générale qui passe par le 

 point PP' et l'un quelconque AA des quatre autres points mobiles con- 

 serve la même direction. 



Pour que la droite mobile PP'AA de Géométrie générale conserve une 

 direction fixe, il faut et il suffit que le rapport des distances PA et P'A 

 demeure constant et que la bissectrice de l'angle variable PAP' ait une 

 direction fixe. (Voir pour la démonstration mon Mémoire de 1889. j 



En conséquence de ce qui précède, j'affirme sans aucune hésitation que, 

 dans le problème primitif, la solution imaginaire présentée par la Géo- 

 métrie restrictive doit être interprétée comme il suit : 



11 existe toujours deux trains réels qui se meuvent sur des lignes 

 droites avec des vitesses uniformes, de telle sorte qu'à tout instant du 

 mouvement : 1" les distances de ces deux trains à chacun des quatre 

 premiers soient respectivement dans des rapports constants ; 2° les bis- 

 sectrices des angles sous lesquels on voit ces deux trains de chacun des 

 quatre premiers conservent des directions fixes. 



Cela est évident en Géométrie générale. 



Quand les deux trains du couple sont constamment confondus en un 

 seul, et alors seulement, la Géométrie restrictive donne une solution 

 réelle. 



On voit par cet exemple typique que la Géométrie restrictive, en pré- 

 sentant une solution imaginaire, nous prévient bien que la demande for- 

 mulée renferme une impossibilité. 



Et cette impossibilité tient uniquement, non seulement dans le problème 

 qui nous occupe, mais toujours, à ce que nous exigeons que les deux 

 composantes du point demeurent superposées. 



C'est en cela que, suivant l'expression de Vallès, consiste l'erreur que 

 nous n'avions pas même soupçonnée. 



Dans l'espace réel oîi Descartes a construit les axes de sa Géométrie 

 analytique, toutes les places paraissent marquées d'avance pour les points 

 réels, dont les coordonnées sont déterminées à l'aide de nombres positifs 

 et négatifs. 



