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une quanlité considérable de triangles satisfaisant à de semblables condi- 

 tions. Le 19 novembre 1888, un mémoire sur les égalités à deux degrés 

 fut présenté à l'Académie des Sciences par son auteur, M. le général Fro- 

 lov, et le Journal de Mathématiques élémentaires traita le même sujet dans 

 ses numéros d'août et de septembre 1889. 



Ces divers travaux firent naître l'idée de former à deux constantes : 



1° Des enceintes magiques ; 



2" Des cercles de même rayon se coupant deux à deux, leurs circon- 

 férences étant divisées en parties égales avec des nombres à chaque 

 point de division et d'intersection ; 



3" Des ensembles de lignes formant des figures géométriques comme 

 il y en a, mais sans double égalité, dans le chapitre Das magische Po- 

 lygon, du traité d'Hermann SchetTer. 



Carré de 8 de base. — M. Savard a le premier arrangé soixante-quatre 

 nombres en un carré magique au premier degré et semi-magique au 

 second ; mais, c'est M. PfetTerniann qui, avant tout autre, a construit 

 un carré de 8 parfaitement magique à deux degrés, et quelques mois 

 après un de 9 réunissant les mêmes conditions. Ces carrés ont été pu- 

 bliés par les soins de M. Feisthamel le 6 décembre 1890 et le ^ll juin 1891. 



On se rendra compte des difficultés que présentait la construction de 

 tels carrés en cherchant, parmi les formules connues et les notations 

 dues à Joseph Sauveur, celles qui pourraient aider à résoudre ce nouveau 

 genre de problèmes, et aussi, en considérant que les combinaisons de 

 huit nombres donnant la double égalité 260 et 11.180 dépassent 30.000 

 suivant une première approximation de M. Rilly, qui en a déjà cal- 

 culé 23.136. 



La marche à suivre pour obtenir avec des nombres consécutifs un 

 carré de 8 comporte trois opérations : 



1° Avec les soixante-quatre nombres former huit lignes, chacune de 

 huit éléments, dont la somme soit 260; faire les permutations de chiffres 

 nécessaires pour, sans altérer cette première égalité, en trouver une se 

 conde 11.180 par l'addition des nombres élevés à leur deuxième puissance. 



Cette opération terminée, on a ce que nous appelons un générateur. 



2° Composer un second générateur ayant les mêmes qualités que le 

 premier, et pouvant se conjuguer avec lui pour faire un semi-magique. 



3° Par des changements de place des lignes entières, amener en dia- 

 gonales les nombres qui, en dotant celles-ci de la double égalité, rendent 

 le carré tout à fait magique. 



Générateur. — Pour former chaque générateur, nous procédons par 

 couples égaux, et par leurs complémentaires, en nous réglant, pour com- 

 mencer, sur les deux rangées supérieures d'un échiquier dont les cases 

 seraient numérotées. 



