188 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Nous obtenons les cinq groupements suivants : 



260 et 17 49 81 113 ^260 



16 SO 82 112:^260 



15 51 83 111 =3 260 



13 53 85 109^^260 



9 57 89 105 = 260 



La première décomposition est des plus simples : il faut écrire les 

 nombres suivant la marche que les Grecs appelaient boustrophédon. 



On a évidemment des horizontales égales, puisqu'elles se composent 

 toutes des couples 17 49, 81 113 — 260. 



Il s'agit de leur donner la double égalité. Dans chaque colonne les 

 premiers nombres inscrits sont consécutifs, de la forme n et w + 1 

 ayant pour somme de leurs carrés 2n(n -|- 1) -f- 1. Les deux suivants 

 (/i — 1) et {il -\- 1) ont pour somme de leurs carrés 2n(M -|- 1) -|- ^» 

 quantité qui surpasse de quatre unités le résultat précédent. 



En comparant ainsi chaque couple avec le premier inscrit, on trouve 

 les différences mises en marge du tableau. En place des nombres 0, 4, 

 12, 24, etc., etc., marquant des différences, on aurait pu mettre plus 

 simplemenl : 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, c'est-à-dire les sept premiers 

 nombres triangulaires précédés de zéro. Ces différences formant une 

 somme 336 pour les huit couples d'une colonne, les horizontales seront 

 égales au second degré toutes les fois que les quatre couples de chacune 

 d'elles présenteront des différences ayant pour somme 



336 

 4 



= 168 



En représentant chaque couple par la lettre placée en tête de sa 



