142 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



par a, [3, Y' 2: 01^ S'Ura six paires de diagonales, a[i, ay, aS, py, jio, yo, 

 qui pourront être adaptées à ce carré. 



On. sait qu'un carré de 8 de base se transforme de cent quatre-vingt- 

 douze manières quand on déplace simultanément des bandes et des 

 colonnes également distantes du milieu. En supposant qu'il ne soit pas 

 possible de lui donner d'autres diagonales que celles par 65 65, le carré 

 (fuj. 6) est déjà susceptible de 6 X 19^ = l-lo2 solutions. Il en serait 

 de même du carré (flg. 8) auquel six paires de diagonales conviennent 

 également. 



Cette multiplicité des diagonales, ainsi que les transformations par 

 échanges de groupes égaux, qu'il faut chercher pour les découvrir, s'op- 

 pose à la détermination exacte, a prio?'i, du nombre de carrés de 8 à 

 deux degrés que l'on peut construire par la méthode dont nous venons de 

 faire un exposé succinct. Tout ce qu'il est permis d'alfirmer, c'est que les 

 lignes, au nombre de trente, qui comprennent l'unité se conjuguent 

 cent vingt fois deux à deux, d'oii 120 carrés donnant lieu chacun à 

 192 solutions dérivées, c'est-à-dire 23.040 carrés différents, sans compter 

 les solutions en quantité assurément considérable dues aux changements 

 de diagonales. 



CARRÉ DE 9 DE BASE MAGIQUE AUX DEUX PREMIERS DEGRÉS 



Carré de 9, — Le carré de 81 éléments consécutifs se fait aussij par 

 deux générateurs qui se conjuguent pour former un semi-magique que 

 l'on dote ensuite de bonnes diagonales. 



Avec la suite naturelle de 1 à 81, les constantes sont, au premier degré, 

 369 et, au second, 20.049. 



A.vec les vingt-sept nombres dont se composent les trois premières 

 lignes d'un carré naturel, on forme une bande qui comprend trois petits 

 carrés magiques auxquels on donne la même orientation. 



En transportant ensuite dans chaque carré deux horizontales prises 

 aux autres carrés, on rend égales les neuf lignes verticales. 



Chaque verticale est alors formée de termes dont la somme est 42, 

 l'ensemble en comprend quatre paires qui présentent chacune une double 

 égalité et une dans la composition de laquelle entre la moyenne de 1 à 27, 

 c'est-à-dire 14. 



