M. IliOl.OV. — SUR LES RÉSIDUS QUADRATIQUKS 149 



M, Michel EROLOV 



à Genève. 



SUR LES RÉSIDUS QUADRATIQUES 



— Séance du 17 septembre 1892 — 



i . — Dans ses Disquisitiones fuithmeticœ, Gauss appela résidus quadra- 

 tiques du module m les restes que l'on obtient en divisant par un nombre 

 quelconque m une suite de carrés consécutifs \ , 4, 9, 10 ... Il appela 

 non-résidus quadratiques tous les autres nombres, inférieurs à m, qui ne 

 se trouvent pas parmi ces restes. 



La considération des résidus quadratiques révèle quelques propriétés 

 des nombres qui pourraient servir à la détermination de leurs facteurs 

 premiers. 



m — 1 



On sait que pour ut premier il y a — ^ — résidus et autant de non- 

 résidus, et que tous ces nombres sont distincts les uns des autres. 



C'est là une des propriétés caractéristiques des nombres premiers. 



Dans ce cas, comme l'a fait voir Gauss, le produit d'un nombre quel- 

 conque de résidus et de non-résidus est résidu ou non-résidu, selon que 

 les non-résidus sont en nombre pair ou impair. 



On peut obtenir avec deux résidus quelconques, autres que l'unité, tous 

 les aulres résidus d'un module, par la multiplication des résidus connus, 

 sans recourir à la division des carrés. 



Par exemple, tous les six résidus du module 13 peuvent être obtenus 

 avec deux résidus 4 et 9. En effet, leur produit 36 donne le résidu 10; 

 le produit de 4 et de 10 donne le résidu 1 ; celui de 9 et de 10 donne 12 

 et celui de 10 et de 12 donne 3. Tous les autres produits donneront 

 les mêmes résidus. Cette propriété n'appartient également qu'aux résidus 

 des nombres premiers. 



2. — Si l'on numérote les résidus en marchant à rebours, le premier 



résidu, correspondant au carré ( — ;^ — j sera égal, pour m de la forme 

 4/i -I- 1, à (m — h), et, pour m de la forme 4/i — 1 , à h, et le r/'"*^ résidu 



