150 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



sera égal, dans le premier cas, à (m — A + (f — q) et, dans le second, 

 à {h-\-q-'-q). 



Donc la différence du {q + i)'"' et du ç"" résidu sera égale à 2g. Il 

 en résulte une règle très simple pour déterminer rapidement tous les 

 résidus, en commençant par le dernier : en l'augmentant de 2, on obtien 

 l'avant-dernier résidu ; en ajoutant à celui-ci 4, on obtient le résidu sui- 

 vant, et en continuant à ajouter 6, 8, 12, 14, etc., on obtient l'un après 

 l'autre tous les résidus. 



Ces formules sont identiques à celles auxquelles Euler est parvenu , 

 selon Legendre, par voie d'induction (art. 179 et 180 de VEssai sur la 

 Théorie des nombres, par Legendre, 1808). Cependant les facteurs pre- 

 miers des résidus quadratiques ne sont pas toujours résidus. Par exemple, 

 pour m=: 13, on a parmi les résidus le nombre 10, sans avoir ses fac- 

 teurs premiers 2 et 5; pour m — 43, on a 6, 21, 38, 35, sans avoir leurs 

 facteurs premiers 2, 3, o, 7, 19 (*). 



3. — Pour m premier ou composé de la forme ïh — 1, il existe une 



relation très simple entre les — y-^ premiers résidus et les — r — derniers 



résidus, pris dans l'ordre inverse : après avoir trouvé les premiers cl 

 le résidu du milieu, on obtient les derniers, en renversant l'ordre des 

 premiers et en les augmentant respectivement de 1, 2, 3, 4, o ... Par 

 exemple, pour /« := i3, les dix premiers résidus sont : 



1. 4, 9, 16, 2o, 36, 6. 21, 38, 14 



et le résidu du milieu est 35. 



Augmentons 14 de 1, 38 de 2, 21 de 3, 6 de 4, 36 de o, 25 de 6, 

 16 de 7, 9 de 8, 4 de 9 et 1 de 10, et nous aurons les dix derniers 

 résidus 



15, 40, 24, 10, 41, 31. 23, 17, 13, 11. 



C'est facile à démontrer, car pour m = 4A — 1, le carré du milieu est 



(m A- 1\'^ 

 égal à ( — j — j = h"^ et la différence de deux carrés également éloignés de 



/^n 4- 1 X'-* 

 ce dernier et se trouvant à la distance 2/ l'un de l'autre, étant 1 — y f- / 1 



— y- 1\ -; nd-\-l, il est évident que la différence des résidus 



correspondants sera égale à / ou à la demi-différence des racines de deux 

 carrés, et que c'est la quantité dont il faudra augmenter un résidu de la 



(*) Voir la Table des résidus à la fin de ce Mémoire. 



