M. FKOLOV. SUR LKS RÉSIDUS QUADRATIQUES lol 



première moitié de la période, pour obtenir le résidu correspondant de sa 

 seconde moitié. 



Si m premier ou composé est de la forme ih -\- \, on obtient les 



derniers résidus en augmentant les — - — premiers résidus de 



i 4 



quantités 



2/i + 1, th + 2, 2// + H . . . 3/î— 1, 3/t. 



Par exemple, pour w= 41. après avoir écrit les dix premiers résidus 



1, 4, 9, 16, 2o, 36, 8, 23, 40, 18, 



augmentons 18 de 21, [40 de 22. 23 de 23, 8 de 24, 36 de 2o, 2o de 26, 

 16 de 27, 9 de 28, 4 de 29, 1 de 30, et nous aurons les dix derniers 

 résidus 



39, 21, o, 32, 20, 10, 2, 37, 33, 31. 



En etïet, la différence de deux carrés également éloignés du milieu de 

 la période étant égale à 



(4/<+ !)(/— 1) + 2// +/ = m{l — \) +2/i +/, 



la différence des résidus sera égale à ^h -{-l (*). 



//( — 1 

 4. — Pour m premier de la forme 4/i -|- 1 , tous les — - — résidus se 



m — 1 , , . , , . - - 



répartissent en — - — couples de résidus complémentaires, dont la somme 



est égale km. 



Il est aisé de se convaincre que deux résidus de cette espèce corres- 

 pondent à deux carrés dont la somme est égale à m. ou à son multiple, 

 car en nommant ces résidus r et R et les carrés correspondants a;'^ et y^, 

 on aura a;^ = r, et i/^ = R (Mod. m.) 



En additionnant ces congruences, il viendra x"- -\- if ^ r -\- 'K (Mod. m) 

 et en posant r -j- R = m, af- -\- \f ( >! > 1. m . — G r.n n e tout nambre 

 premier de la forme 4/i-|- \ est une somme de deux carrés, on peut poser 

 m=:a^ -\-b'^, et en multipliant les deux racines a et 6 successivement par 

 2, 3, 4 . . . A-, on aura des sommes de deux carrés (2a)'' -j- (^Jf, (3a)'^ 

 -\- (36)% {kaf + (46)"^ . . . {ka)'^ -\~ (kbf, toutes multiples de m, qui corres- 

 pondront à autant de couples de résidus complémentaires. Si ka, kb dé- 

 passent m, on aura soin de les diviser par ce module et de les remplacer 



(*) On obtient aussi, dans ce cas, les derniers résidus, en diminuant le I — ; — I le résidu de 1, 

 le 1 1 de 2. le I — -; — I de 3, et ainsi de suite. 



