132 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



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par des restes, et si ces derniers dépassent — - — , de les remplacer par leur 



compléments km. 



29 — 1 

 Par exemple, pour m ^ 29, on doit avoir — - — =r 7 couples de rési- 



dus complémentaires et autant de couples de carrés. On a d'abord 



(1) 2^ + 5^ = 29 



En multipliant les racines 2 et 5 successivement par 2, 3, i, •>, on 

 trouve les sommes suivantes, toutes multiples de 29 : 



(2) 4^ + 10^ 



(3) G^ + 15^ = Q' + (29 — lo)'^ = 6'^ + 14'^; 



(4) 8'^ + 20^ = 8^ + (29 — 20)'^ :r_r 8^ + 9-; 



(5) 12^ + 30-^ = 'l^'^ + (-'^O - -^^y =^12' + 1^ 



2 



et en divisant i)ar 2 les racines (i et 14 de la somme (3), on a : 



(6) 3^ + 7'^ 



Enfin, en multipliant les racines de cette somme par 6, on aura : 



(7) 18-^ + 42^ = (29 — 18)'^ + (42 — 29)'^ := 11^ -f 13-. 



Voilà tous les sept couples de carrés, chacun desquels correspond à un 

 couple de résidus complémentaires; par exemple, les carrés 11- -{- 13-' 

 correspondent aux résidus o et 24. 



Les nombres premiers de la forme ih — 1 n'étant pas des sommes de 

 deux carrés, n'ont jamais de résidus complémentaires. 



Quant aux nombres composés, il en est autrement. 



Pour un nombre composé m de la forme 4/t + 1? 'es résidus ne se 



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répartissent en — - — couples complémentaires que si m ne contient que 



des facteurs de cette forme et est égal à une somme de deux carrés, 

 comme 65 = 16 + ^^, 221 — 25 -|- 198, etc. Mais, si m est composé 

 exclusivement de facteurs de la forme \h — 1, comme 21, 77, etc., il 

 n'y a pas de résidus complémentaires. 



Par contre, pour les nombres composés de la forme 4/i — 1, conte- 

 nant des facteurs premiers de la forme 4/t -j- 1 , on rencontre des résidus 

 complémentaires : par exemple, pour ni — lo, on a le couple et 9 ; 

 pour m = 87, on a les couples 6 et 81, 9 et 78, 24 et 63, etc. 



5. — Signalons encore quelques autres dissemblances entre les résidus 



des nombres composés et ceux des nombres premiers. 



III — 1 

 D'abord, pour tout nombre composé m, il y a toujours moins de — - — 



