M. FKOLON . — SLR LKS IIKSIDUS QUADRATIQUKS 153 



résidus distincts l'iiii de l'autre, et il existe toujours quelques résidus 

 égaux. Cette reproduction de résidus suivant une période indique précisé- 

 ment que le module m est un nombre composé. 



En efTet, posons x^ = r et ij"^ = r (Mod. m). 



En retranchant la dernière conyruence de la première, nous aurons 



j;2 — if 13:: (^x -f- II) U — 1/) = 0) (Mod. m). Chacun des nombre x et y 



m 

 étant moindre que — , leur somme {x -\- y) et leur différence {x — y) sont 



inférieures à m. Jl en résulte que /// est nécessairement le produit des fac- 

 teurs de ces deux quantités {x -|- y) et {x — ij), et, par conséquent, il est 

 un nombre composé. Il s'ensuit encore que la distance {x — y), qui sépare 

 deux résidus égaux, a toujours un diviseur commun avec le module ut. 

 Par exemple, pour m = 77 = 7 x 11, on a les résidus suivants : 



1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 4, 23, 44, 67, 15, 42, 71, 2o, 58, 16, 53, 

 15, 56, 22, 67, 37, 9, 60, 36, 14, 71, 53, 37, 23, 11, 1, 70, 64, 60, 58. 



On remarque que la distance entre deux résidus 4 est égale à 7, que celle 

 des résidus 23 est égale à 22, que celle des résidus 58 est égale à 21, et 

 que tous ces nombres ont des diviseurs communs avec 77. 



En second lieu, les lois de Gauss, qui lient entre eux les résidus de tout 

 nombre premier n'existent pas pour des nombres composés. Ainsi, pour 

 ces derniers, les résidus ne sont pas toujours des produits de deux autres 

 résidus ; par exemple, pour tu = 15 on n'obtient ni 1 ni 4 par la multipli- 

 cation de deux autres résidus. Parfois un résidu est'le produit de lui- 

 même par un autre résidu; tel est pour tn - 15 le résidu 10 qui, étant 

 multiplié par 4, donne 10. Il arrive encore que le produit d'un résidu 

 par un non-résidu est égal à zéro, ou que le produit de deux non-résidus 

 est non-résidu. Ainsi, pour in = 15, en multipliant le résidu 10 par le 

 non-résidu 3, on a 30=^- (Mod. m); en multipliant les non-résidus 2 

 et 7, on obtient le non-résidu 14. 



6. — Nous présenterons maintenant quelques théorèmes sur les résidus, 

 des nombres composés, qui ont rapport à la détermination de leurs 

 facteurs premiers. 



Théorème I. — Les différences des résidus d'un nombre composé N et 

 des résidus correspondants de l'un de ses facteurs d sont divisibles par 

 ce facteur, et, réciproquement, un nombre N sera divisible par un autre 

 nombre d, si les différences de leurs résidus correspondants sont divisibles 

 par ce dernier. 



En effet, si l'on a simultanément : 



x^ = K (Mod. N) et N = (Mod. d), 

 on aura aussi a;'* = R (Mod. d), 



