154 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



et si l'on a en même temps : 



x"' = r (Mod. (/), 

 il viendra : R — r^O (Mod. d) ; 



c'est-à-dire que la différence des résidus correspondants de N et de d est 

 divisible par d. 

 Ainsi, en écrivant une suite de résidus de 77 : 



1. 4, 9, 16, 2o, 36, 49, 64, 4, 23, 44, 67. 15 . . . 

 et au-dessous celle de résidus de 7 ; 



1, 4, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 ... 

 ou aura les difîérences : 



7, 14, 21, 35, 49, 63, 0, 21, 42, 63, 14 . . . 



toutes divisibles par 7. 



Pour appliquer ce théorème à la recherche des facteurs premiers d'un 

 nombre N, il suffit de trouver un seul résidu R de ce nombre, donné par 

 la division d'un carré n'^ par ce nombre. Posons : 



R = n'- — N et r ^ n' — Cd 



où d est un facteur premier, C son coefficient et r son résidu corres- 

 pondant au résidu R de N. 

 Alors on aura : 



N = Cd — (R — r), 



et si (R — r) est divisible par d, X le sera aussi. 



Par exemple, pour déterminer les facteurs de N = 2263 =: 48- — 41, 

 où 41 est le 48'"^ résidu de ce nombre, essayons le facteur 7. Le 48'"" ré- 

 sidu de 7 est égal k son (49 — 48) == 1®"' résidu, qui est 1 ; on a 

 41 — l =: 40, nombre non divisible par 7 ; donc 7 n'est pas un facteur 

 de 2263. Essayons 11; le 48"^*' résidu de ce facteur est le môme que son 

 48 — 44 = 4""^ résidu, égal à 5; on a 41 — 5 -- 36, nombre non divi- 

 sible par 11; donc 2263 n'a pas ce facteur. Après avoir essayé, de la 

 même manière, les facteurs 13, 17, 19, 23 et 29, nous arriverons à 31, 

 dont le 48"'^ résidu est le même que son 48 — 31 = 17""= résidu égal à 

 son 31 — 17 =: 14'"'' résidu qui est 10; on a 41 — 10 = 31, donc 31 

 divise 2263. 



7. — Théorème II. — Les différences des résidus également éloignés 

 de deux résidus égaux sont divisibles par des facteurs du module. 



