M. FKOLOV. — SUK I.KS KKSIDUS QUADRATIQUES lo5 



En effet, prenons deux résidus égaux R et r, correspondant aux carrés 

 x'^ et y% et encore deux résidus Rj et Rj situés des deux côtés de R à 

 la distance / de celui-ci, et deux autres résidus r, et r.^ situés de la 

 même manière relativement à r. On aura les quatre congruences sui- 

 vantes : 



{^x — lf=K,; {x + iy^K,- {ij — if = r,; iy + iy' = r, fMod. N). 

 En retranchant les deux dernières des deux premières, il viendra : 



4- 2/ fa; + y\ = R, — r, ; + ±1 [x — y) ~ R, — r, ) ^ ' 



En nommant d^ le facteur commun de N et de {x — /y), et d.^ celui 

 de N et de [x -j- y), on aura quatre nouvelles congruences : 



Ri — r, = ; R, — r, = (Mod. d,), 

 R, — r, = ; R, — y.^ = (Mod. d.^, 



qui expriment que chacune des quatre différences de résidus est divisible 

 par un des facteurs du module. 



Par exemple, prenons dans la période de 77 deux résidus égaux à lo. 

 Les deux résidus situés à deux pas du premier résidu lo sont 44 et 71, 

 et les deux résidus situés à la même distance du deuxième résidu 13 

 sont 16 et 22 ; les dilférences 44 — 1(3 = 28 et 71 — 22 =; 49 sont 

 divisibles par 7, et les différences 44 — 22 = 22 et 71 — 16 =- 55 sont 

 divisibles par 11, 7 et 11 étant facteurs de 77. 



8. — Avant d'aller plus loin, remarquons que, dans une période directe 

 d'un nombre premier ou composé, il y a d'abord une portion formée de 

 résidus carrés 1, 4, 9... impairs et pairs, qui se succèdent entre eux, en 

 augmentant graduellement jusqu'à l'arrivée d'un résidu de même parité 

 que le précédent et moindre que lui, et nous dirons qu'il y a là un 

 saut; puis quelques résidus pairs et impairs se succèdent de nouveau 

 jusqu'au second saut, caractérisé aussi par deux résidus contigus de 

 même parité, et ainsi de suite. Si nous représentons un résidu R par 

 la formule R := a-'^ — CN, dans laquelle C est le coefficient du nombre N, 

 c'est-à-dire le quotient de la division du carré x"^ par N, il est clair qu'à 

 chaque saut le coefiîcient C croît d'une unité. En prenant un second 

 résidu /• ~ y^ — cN et en le retranchant du premier, on aura la diffé- 

 rence de ces résidus \\ — r z=. x'^ — y'^ — (C — c)N, dans laquelle la 

 différence (C — c) désignera le nombre de sauts entre les résidus R et r. 

 Par exemple, dans la période du nombre 77 (art. 5), les sauts sont 

 situés entre 64 et 4, 71 et 25, 58 et 16, 53 et 15, 36 et 22, 67 et 37, 37 

 et 9, etc., et les résidus \, 4, 9... 64 et les résidus 15, 42 et 71 sont 

 séparés par deux sauts, les résidus 23 et 56 par quatre sauts, etc. 



