156 MATHÉMATIQUES, ASTROA'OMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Théorème III. — Si la différence de deux résidus, situes l'un de l'autre 

 à la distance égale à un nombre premier l et séparés par un nombre de 

 sauts moindre que /, mais plus grand que zéro, est divisible par /, ce der- 

 nier est le facteur du module. 



En effet, en reprenant la formule que nous venons d'établir : 



R — r = a;^ — .?/2 — (C — c)N ^ (a; + ij){x — y) — (C — c)N, 



nous voyons que l = x — y, et comme nous avons supposé que R — r 

 est divisible par ce nombre et que le nombre de sauts (C — c) est plus 

 petit que /, il en résulte que / doit diviser le module N. 



Par exemple, dans la période de 17, les résidus 9 et 23, situés à la 

 distance égale à 7, et séparés d'un saut, donnent la différence 14 divisible 

 par 7, donc ce dernier divise 77 ; les résidus 36 et lo situés à la même 

 distance 7, et séparés de deux sauts, donnent la différence 21 aussi divi- 

 sible par 7, etc. 



9. — Théorème IV. — Si l'on prend deux résidus consécutifs R, et R.^ 

 d'un nombre N et si, en les divisant par un facteur premier m, on obtient 

 les restes /\ et r.^ , qile l'on trouve, l'un à côté de l'autre parmi les résidus 

 de ce facteur, ce dernier divisera le nombre N. 



En effet, soient x'^ et {x zt 1)^ deux carrés consécutifs qui, étant divisés 

 par N, donnent les résidus Rj et Rj; ainsi on aura : 



Ri r= d-^ — N et R^ ~ (a? ± 1)^ — N. 



D'après la supposition de l'énoncé du théorème, on a aussi : 



Rj ^ 9\ et R2 ^ y-j (Mod. m) 



et en nommant y^ et (y ± ]y les carrés consécutifs qui donnent, pour 

 le module m, les résidus ?•, et r.^ , on aura encore : 



y^ = Vi et y dr l)'^ = r.^ (Mod. m). 



On en déduit successivement : 



n = x^ — y- N ^ (x zh 1)'^ - (y ± Ij'^ 

 x:iz7ji = 



(Mod. m). 



(•* + !j) ou (x — y) étant ainsi multiple de m, x^ — y^ — - N le sera éga- 

 lement, c. Q. F. D. 



Par exemple, prenons N = 91.471, on aura Ri = 303^ — 91.471 =338 

 et R2 = 301-^ — 91.471 = 945. Pour s'assurer si ce nombre 91.471 est 

 divisible par "23, divisons par ce facteur les résidus 338 et 9io, et nous 

 obtiendrons les restes 1(5 et ^ qui se trouvent, l'un à côté de l'autre, 

 parmi les résidus de 23. Donc, ce dernier est facteur de 91.471. 



10. — Tout nombre peut être mis sous la forme N = n^ — 7' ; il est 



