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évident qu'un nombre ne peut être divisible que par des facteurs pre- 

 miers m, qui contiennent parmi leurs résidus le nombre r, ou, si ce der- 

 nier surpasse m, le reste de la division de r par m. 



Ainsi, les nombres de la forme n- — it peuvent être divisibles par 

 il, 13, 23, 37, 47. . ., mais non par Ij, 7, 17, lU, 31 ... de sorte qu'il est 

 inutile de les diviser par ces derniers facteurs. Il s'ensuit que la con- 

 naissance des résidus des facteurs premiers permettra d'exclure environ 

 la moitié de leur nombre et d'abréger d'autant les essais de la division. 

 Nous joignons à ce Mémoire la table des résidus des nombres premiers 

 de 3 à 97, qui peut faciliter sensiblement la décomposition des nombres 

 en leurs facteurs premiers, car la grande majorité des nombres composés 

 contient ces facteurs. 



Théorème V. — En écrivant un nombre N sous la forme N =:: n-' — r, 

 si l'on trouve un nombre t, tel que la différence (n — /) ou la somme 

 m -{- t) ait un diviseur commun d avec l'une des différences (/• — P) ou 

 (/2 — r), ce diviseur commun divisera le nombre N. 



En effet, si (n — t) ou (n + t) est multiple de d, (n^ — r-) le sera aussi. 

 Si, en outre, la différence (/• — f) est multiple de d, en la retranchant de 

 (n'^ _ /"-), on aura n- — r := N aussi multiple de d. Si cest [f' — r) qui 

 est multiple de d, en l'ajoutant à (»' — r^), on aura encore w^ — r = ^ 

 multiple de d, c. q. f. d. 



Pour appliquer ce théorème à la recherche des facteurs d'un nombre N, 

 il faut diminuer ou augmenter n successivement de 1, 2, 3, 4, 5. . ., en 

 retranchant simultanément du résidu r les carrés de ces nombres 1, 4, 

 9, 16, 25. . ., jusqu'à ce que l'on tombe sur deux nombres ayant un divi- 

 seur commun. Les exemples suivants suffiront pour expliquer cette 

 méthode : 



1. — Prenons N = 9379 = 97^ — 30, n =: 97, r = 30. 



n-t = m,9o, 94, 93, 92, 91, 90, 89, 88, 87, 8(3, 85, 8i, 83. 

 n^t = 98, 99, 100, 101. 102, 103. lOi, 105. 10(i. 107, 108, 109, liO, 111. 



I 30 — 1 30 — 4 30 — 9 30 — 16 30 — 25 

 \ 29 26 21 14 5 



) 30 _ 30 49 — 30 64 — 30 81 — 30 100 — 30 

 ^(''-^''^\ u 19 34 51 70 



121-30 144 — 30 169 — 30 196 — 30. 

 «Il 114 139 166 



Les nombres 83 et 1(36 ont le conmiun diviseur 83, par conséquent ce 

 dernier divisera 9379. 



2. — Prenons N — 12.361 — 112* -- 183, n — 112, r == 183; mais. 



