172 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. L. LECORÎfTJ 



Ingénieur des Mines, Maître de Conférences à la Faculté des Sciences, à Caen. 



SUR LES SURFACES D'ÉGALE INCIDENCE 



— Séance du 19 septembre 1892 — 



On peut appeler, d'une manière générale, surface d'égale incidence 

 une surface qui rencontre sous un angle constant donné une famille de 

 courbes données. La recherche d'une pareille surface se ramène à l'inté- 

 gration de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre : 



(1) {ap -\-bq — cY — li^(p^ -f q--\-i) = 



dans laquelle a, b, c désignent, pour un point quelconque {x, y, z) de 

 l'espace, les cosinus directeurs de la tangente à la courbe qui passe en ce 

 point, et K, le sinus de l'angle constant donné. Il y a généralement une 

 infinité de surfaces réelles répondant à cette équation. Lorsque K converge 

 vers l'unité, les surfaces d'égale incidence tendent à devenir des surfaces 

 trajectoires orthogonales ; mais l'on sait qu'un faisceau de courbes rem- 

 plissant l'espace ne peut, en général, être coupé orthogonalement par 

 des surfaces réelles. De là une sorte de paradoxe, que, dans un autre 

 travail (Bulletin des Sciences mathématiques), j'ai essayé d'expliquer. J'ai 

 montré que, pour des valeurs de K assez voisines de l'unité, chaque sur- 

 face d'égale incidence est formée par une suite de nappes dont chacune 

 est imaginaire, sauf à l'intérieur d'un contour fermé qui joue le rôle 

 d'une arête de rebroussement. L'aire de la facette réelle ainsi déterminée 

 tend vers zéro à mesure que K se rapproche de l'unité, de telle façon 

 qu'à la limite les parties réelles de la surface se réduisent à des lignes 

 ou à des points isolés. Ces résultats sont établis dans l'hypothèse où le 

 faisceau de courbes considéré n'admet pas de trajectoires orthogonales. 



Bien d'autres questions peuvent être posées à propos des surfaces d'é- 

 gale incidence. Dans ce qui suit, je me propose surtout de déterminer 

 la nature des surfaces d'égale incidence relatives à un système de lignes 

 droites issues d'un même point A, et je m'appuierai pour cela sur des 

 considérations géométriques d'une grande simplicité. 



