L. LECORNU. SUR LE3 SURFACES d'ÉGALE INCIDENCE 173 



D'abord, il est clair que les courbes d'intersection d'une pareille sur- 

 face par les sphères qui ont leur centre au point A sont des lignes de 

 courbure de cette surface : car les sphères coupent la surface sous un 

 angle constant. Le second système de lignes de courbure est constitué 

 par les trajectoires orthogonales des précédentes. Le long de l'une de ces 

 lignes, les normales à la surface engendrent une surface développable dont 

 les plans tangents sont perpendiculaires aux lignes de courbure sphérique 

 et passent conséquemment par le point A. La développable ne peut donc 

 être qu'un plan ou un cône. Si c'est un cône, les normales à la surface 

 cherchée passent toutes par le point A, ce qui exige que l'angle d'incidence 

 soit droit, et que la surface d'égale incidence se réduise à une sphère. 

 Dans tout autre cas, le second système de lignes de courbure est consti- 

 tué par des courbes planes qui rencontrent sous un même angle cons- 

 tant les rayons vecteurs issus du point A, c'est-à-dire par des spirales 

 logarithmiques égales, admettant ce point pour pôle commun. En ré- 

 sumé, la surface est décrite par une spirale logarithmique dont le plan 

 roule sur un cône fixe arbitraire, de sommet A ; c'est un cas particulier 

 des surfaces de Monge, à lignes de courbure planes et superposables. 



Les formules d'Olinde Rodrigues fournissent une vérification de ce 

 résultat. En désignant par R l'un des rayons de courbure principaux 

 au point x, y, -, par p le rayon vecteur, par a, p, y les cosinus directeurs 

 de la normale, on a les relations : 



da. d[3 dy 1 



dx di/ dz R 



«A" + Py + y- = Kp, 



X' + y' + ^' = ?'- 



On tire de là 



ou bien : 



1 



- {xdx -[- ydij -\- zdz) = Kc?p , 

 R 



rfp(p — KR) = 0. 



La solution rfp = correspond aux lignes de courbure sphériques, 



La solution R = p correspond aux lignes de courbure spirales. 



Il est facile d'exprimer les coordonnées x, y, z d'un point quelconque 

 de la surface en fonction de deux paramètres arbitraires, correspondant 

 aux deux systèmes de lignes de courbure. A cet effet, désignons par l une 

 valeur particulière du rayon vecteur et considérons la ligne de courbure (C) 

 située sur la sphère de rayon /. On peut évidemment considérer la surface 



