174 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



comme engendrée par une spirale logarithmique invariable dont le pôle 

 reste en A, dont un point décrit (C) et dont le plan est constamment nor- 

 mal à cette ligne. Soit M un point quelconque de la surface, soit m le point 

 oij son rayon vecteur, de longueur p, rencontre la sphère de rayon / et soit m' 

 le point oîi la spirale qui passe par M rencontre la ligne directrice (C). Con- 

 sidérons, sur la sphère de rayon /, un système de coordonnées polaires 6, «p 

 dont l'origine P appartienne à l'axe des z positifs. La ligne (C) est repré- 

 sentée par une équation (2) /"(O, <?) = qu'on doit supposer connue. Au 

 moyen de cette équation, on commencera par calculer l'angle w que forme, 

 au point m', de coordonnées 6, 9, la normale sphérique à la courbe (C) 

 avec le rayon vecteur sphérique 0, issu du point P. A l'aide du triangle 

 sphérique Pm'm, on pourra alors calculer les coordonnées 6^ et <pi du point m 

 en fonction : 1° des coordonnées 6, ^ du point m'; 2° de l'angle w déter- 

 miné comme il vient d'être dit; 3° du côté mm' = l^. Comme y est lié à 

 par l'équation (2j, on voit que ôj et «p^ seront des fonctions des deux variables 

 indépendantes 6 et jx. Si Ton passe ensuite du point m de la sphère au point M 

 de la surface donnée, il faut substituer au rayon vecteur / le rayon vecteur 



p =1 /e\/i— K\ Finalement les coordonnées cartésiennes résulteront des for- 

 mules : 



/ ic = p sin ôi cos (pi, 

 (3) ] ï/ = P sin 61 sin cpi , 



( z ^ cos Oi , 



dans lesquelles p, 91, ôj sont des fonctions connues de et de p.. Le sys- 

 tème (3) qui dépend de la fonction arbitraire f, introduite par l'équation (2) , 

 représente l'intégrale générale de l'équation : 



ijp^ + qy- ^Y - i^'ip'' + q' + ^)i^' + r + ^') = o. 



On connaît la propriété remarquable que possède la spirale logarithmique 

 de se reproduire par une foule de transformations. La surface qui nous 

 occupe jouit, dans l'espace, de propriétés analogues. Par exemple : 



La podaire du pôle A, les transformées par homothéde ou par rayons 

 vecteurs réciproques à partir du pôle A sont des surfaces de môme nature. 



La surface des centres de courbure principaux (enveloppe des normales) 

 se compose du cône de roulement, associé à une surface d'égale incidence, 

 homothétique à la première. 



Les rayons issus du pôle A et réfléchis ou réfractés par une surface d'é- 

 gale incidence se trouvent, après cette opération, normaux à une surface 

 d'égale incidence, homothétique à la première, etc. 



Remarquons encore que si l'on décompose la surface en une suite de 



