FONTES. — SUR LA DIVISION ARITHMÉTIQUE 183 



Théorème I. 



On peut toujours réduire la recherche du reste de la division d'un 

 nombre entier quelconque N par un autre M à la même question pour un 

 autre A, plus petit que lui, formé de ses éléments et dont le nombre des 

 chiffres, indépendant de N, ne dépend que de M. 



En effet, soit iB la base du système de numération dans lequel sont 

 écrits N et M, ce dernier étant supposé premier avec S- On peut toujours 

 trouver, de différentes manières, deux entiers positifs y? et m (m <^ M) et 



un entier de signe quelconque q, plus petit que -^ en valeur absolue, 

 tels que : J9 X M = ^0'" — q 



ce que je puis écrire sous forme de congruence : 



^"' = q (Mod. M) 



Cela posé, soient a, b, c, . . . e, f,g, . . . i, j, k, . . . r, s,t,... les chiffres 

 significatifs de N, de telle sorte que dans le système de base fB, ce nombre 

 s'écrirait . . . tsr . . . kji . . , gfe . . . cba. Si je décompose N en tranches 

 de m chiffres en commençant par la droite, je pourrai écrire : 



N = . . . + (. .tsr) X (^"*r + (. -m X M" + (. .gfe) 



Cela posé, je considère une fonction f{x) composée avec x comme N l'est 

 avec 5^"*, c'est-à-dire la fonction 



f(x)= ... + (..ts,^)Xoc' + {..kij)Xx' + (.'9fe}Xx'+{..cba)Xx'' 



de telle façon que [[gf") = N. 



D'après un théorème connu, la congruence (1) a comme conséquence la 

 congruence : /"(iB"') = fiq) (Mod. M) 



ou mieux : 



(2) N = f{q) (Mod. M) 



qui nous démontre le théorème énoncé, à savoir que le reste de la divi- 

 sion de N par M est le même que celui de la division par M d'un nombre A 

 composé avec q comme N l'est avec S"* de telle sorte que : 



A = . . .J^{.Jsr)y< q^ + (. .kji)-Xq'-{-i. .gfé)X. Q' + {• •cba)-Xq' 



q pouvant d'ailleurs recevoir un signe quelconque. Comme ce dernier 



M 



nombre est toujours <^— en valeur absolue on aura toujours A •< N. En 



