184 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



outre, si A contenait plus de m coffres, on pourrait le décomposer comme 

 il a été fait pour N et après un nombre très limité n d'opérations le rem- 

 placer par un autre nombre a"'~'^ jouissant de la même propriété, ce 

 qui complète le théorème énoncé. 



Je ferai remarquer qu'en faisant t^ = iO et M successivement égal à 

 3, 9, 7, 11 et 13, on retrouve tous les critériums de divisibilité exposés 

 dans les traités d'arithmétique (*). 



Théorème II. 



La suite des calculs nécessaires pour obtenir A permet de calculer le 

 quotient de M par M sans effectuer d'autre division arithmétique que celle 

 d'un nombre de m chiffres par ce nombre, m étant << M et indépendant 



de N. 



En effet, la congruence (2) nous apprend que N — A est toujours divi- 

 sible par M. L'autre facteur peut être facilement mis en évidence. 



En effet, on a toujours, pour p. entier : 



LB' 



r 



D'où, en observant que fB"' — g = ;> X M : 



Dès lors, en groupant convenablement les termes de la différence 



fU'^)-f('j) ou N-A, 



qui sont tous de la forme ( . . . z-xy) X { (sfY — q^ \ o" est conduit à écrire 

 cette différence sous la forme schématique suivante : 



(3) N-A=MxpX/ 



+ (..fsr)X90 



X 



(fB"f+ 



+ {..kji)Xq'' 



+ {.Jsr)Xq' 



X(5î") + 



+ (gfe) :<q' 



+ {..kji) Xq' 

 + {.Jsr)>Cq'' 



X 



{srf. 



(*) L'observation ci-dessus est faite sans préjudice du beau travail de M. Perrin sur les caractères 

 de divisibilité (Congrès de Paris, 1890), notre but n'étant pas ici, surtout, de fournir un caractère 

 simple et pratique de divisibilité, mais de calculer le quotient sans division. 



1» En faisant M = ii et m =2 on trouve g = + 1. De là se déduit immédiatement un critérium 

 peut-être plus simple que le procédé classique et, dans tous les cas, dispensant de l'emploi des 

 nombres négatifs, [)our reconnaître si un nombre est divisible paru. 



2» Si on observe que 7 X 14 = 10" — 2, on est conduit pour 7 à un critérium qui, bien qu'exi- 

 geant quelques multiplications par 2, est plus simple que le critérium classique si N n'est pas très 

 grand. En tout cas, il est applicable au nombre 49 et permet de reconnaître immédiatement si un 

 nombre de trois chiffres est divisible par 7. 



