FONTES. SUR LA DIVISION ARITHMÉTIQUE 185 



OÙ le second facteur différent de M est mis aussi clairement que possible 



en évidence. 



Le calcul des coefficients des puissances sruccessives de:fB"* dans la paren- 

 thèse peut s'effectuer assez facilement si on commence par la plus élevée, 

 c'est-à-dire par la tranche de gauche du nombre proposé, chaque coeffi- 

 cient pouvant se déduire du précédent en le multipliant par q"" pris avec 

 son signe et en ajoutant à ce produit la tranche suivante de m chiffres non 

 encore employée, qu'on rencontre immédiatement en s'avançant vers la 

 droite. A se déduit lui-même du dernier coefficient de la parenthèse par le 

 même procédé. 



Gomme la multiplication par iB" se réduit à écrire [x zéros à la suite 

 du multiplicande, on voit que les colonnes du schéma (3) sont pour ainsi 

 dire disposées à l'avance pour les calculs, au moins quand q est positif. 



Ayant fait voir qu'on peut toujours ramener A à un autre nombre a'"~^' 

 de m chiffres seulement jouissant des mêmes propriétés, la deuxième pro- 

 position énoncée se trouve ainsi justifiée. 



Le procédé de division auquel conduisent, pour ainsi dire d'elles- 

 mêmes, les considérations ci-dessus exposées est très simple quand M est 

 module d'une congruence à ± 1 f ) ou à un nombre q très petit. Voici, 

 en regard, deux exemples de divisions (**), l'une par 09 (99 = 10^ — 1), 

 l'autre par 37 (37 X 2"? = 10^ - 1) : 



63 339 597 quotient partiel. 



Le procédé appliqué au diviseur 37 me conduit au nombre A = 538 

 que le théorème qui va suivre me permettra de diviser sans effectuer de 

 division arithmétique. 



(•) Je ne m'occupe plus ici que de numération décimale. 



(**) Je ne donne pas ici d'exemi)le de la division type, celle par 9, dont le lecteur restituera 

 aisément le schéma sur le vu de celle par 99, le principe de la division par 9, que j'avais trouvée il 

 y a quelques années, se trouvant, à mon insu, dans l'ouvrage de M. Lucas sur la théorie des nombres, 

 mais sans la disposition schématique que j'indique ici. 



