186 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Comme exemple où q est différent de l'unité, je prendrai une division 

 par 499. Ici, j'observe que 499 X 2 == 10^ — 2. Je disposerai mes cal- 

 culs comme suit : 



2 X2=^4.... 

 (343+ 4)X2 = 694.. 

 + 694) X2 = 2518. 

 (2+ 1)X2 = 6.... 



4 696 524 quotient. 



Le calcul se fait assez rapidement, car il n'est pas nécessaire d'écrire 

 deux fois les produits 4, 694, 2318 et 6. 



Les calculs sont un peu plus compliqués quand 10'"^ est congru à un 

 nombre négatif; j'en donnerai plus loin un exemple. 



Le problème de la suppression de la division se trouve ainsi théori- 

 quement résolu par le théorème II, car on peut toujours trouver un 

 nombre m < M tel que 10'" = + 1 (Mod. M). Mais l'intérêt des nos opé- 

 rations deviendrait illusoire si m était très grand, quoique plus petit 



M 



même que -^. Il est plus commode de se contenter d'une petite valeur 



de q si cela est possible. 



Le problème de la division peut être complètement résolu sur le reli- 

 quat de m chiffres qui provient de l'emploi de q au lieu de ±: 1, au 

 moyen du théorème que je vais exposer ci-après et qui fournit le moyen 

 de ramener la division du nombre de m chiffres à une autre plus facile. 



Théorème III 



Soient N, M, S, trois entiers positifs, tels que N > M et que S ■< N — M. 

 On peut toujours obtenir le quotient et le reste de la division de N par M 

 par une série de divisions par M -j- S. 



En effet, soient B et C le quotient et le reste de la division de N par 

 M -}- S, soient B -{- ^ et y le quotient et le reste de la division de N 

 par M; nous aurons : 



N = B(M + S) +C; 



N = (B + p)M-f y; 



d'où • BS + C = pM + y ; 



ce qui nous apprend que le reste de la division de N par M est le même 

 que le reste de la division de BS -|- C par le même nombre. En faisant 



