188 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Le quotient complet cherche est donc: 63 339 507 + 14 = 63 339 611, 

 et le reste 20. 



On voit combien ces calculs sont simples. Ils le seraient davantage si 

 on pouvait faire S = 1 {*). 



Quoi qu'il en soit, le présent théorème résout, au moins théorique- 

 ment, d'une manière complète, le problème de la suppression complète 

 de la division arithmétique. 11 est à remarquer que si l'on fait M = 9, 

 S = 1, on retombe assez aisément sur le procédé de division par 9 qu'on 

 peut déduire des théorèmes précédents. 



IV. — Conséquences et applications de ce qui précède. 



Nous avons terminé, au point de vue théorique, notre étude, dont la 

 conséquence logique serait celle de la congruence 10'" ^ </ (Mod. M) ; mais 

 cette dernière nous entraînerait bien au delà des limites de notre sujet. 



Nous n'avons pas à nous dissimuler que, dans beaucoup de cas, le 

 procédé que nous avons esquissé pour éviter la division arithmétique 

 pourrait devenir plus compliqué que cette opération elle-même, surtout si 

 nous voulions obtenir le reste exact. 



Mais il n'en sera pas de même si nous voulons simplement calculer 

 avec des décimales, de façon à obtenir les quotients de la division, à une 

 unité près, d'un ordre donné. Dans ce cas, il nous suffira de faire suivre 

 le dividende d'autant de tranches de m zéros que nous jugerons conve- 

 nable. Nous supprimerons ainsi les difficultés afférentes à la recherche du 

 reste, les plus grandes que présente notre théorie, et nous aurons rem- 

 placé la division (opération fort compliquée en elle-même et qui ne nous 

 paraît simple que par la grande habitude que nous en avons), par des 

 additions, des soustractions et des multiplications. 



Nous prendrons pour exemple un calcul d'intérêts au moyen d'une 

 balance des nombres, en supposant l'année de 365 jours, opération assez 

 compliquée pour qu'on recule devant elle dans la pratique, où l'on ne 

 compte généralement l'année que pour 360 jours. 



Si nous remarquons d'abord que 365 = 73 X 5, nous voyons qu'il 

 conviendra d'abord de diviser le taux de l'intérêt par 5 dans la multipli- 

 cation de la balance des nombres par ce taux (ce qui sera généralement 

 très simple, le nombre qui l'exprime étant presque toujours divisible 

 par 5). La division par 73 s'effectuera ensuite en faisant usage de cette 

 remarque que : 



437 X 73 = 10* -f- 1 r 



(*) M. Lucas donne, dans son ouvrage sur la théorie des nombres, un procédé abrégé de division 

 par 19 différent de celui qui précède et qui peut être généralisé. 



