202 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



en posant : 



/3gv i N = — p sin s sin Dcp -|- p sin o cos v]» 



) M = p cos Vù cos 9 -[- p cos 8 sin V'\> — p sin 3/. 



On peut substituer à cette dernière équation celle-ci : 



dQ 



clQ^ 



(40) 



-^ i7 + yiri + ^ 



d 



d: 



dQ, 

 dx 



X 



+ y 



d'^ d/ 

 dz dx 



+ 



m, 



d'\i d'^ 

 dx dy 



dy 



d'Y 



dont les deux membres se réduisent chacun à une fonction potentielle, 

 et par conséquent la quantité : 



1 



(41) 



r sin 



dû 



dW 

 dv 



d(f) cos f/cp 



= Sm V -ri- : r COS V V" 



dù sm dv 



d<l cos ô . d'I dy 



-+- cos V -r- : sm v -~ -{- -r: 



do sm ô dv dv 



on désignant par r le rayon de la surface du corps, devra être une fonc- 

 tion sphérique d'ordre n. On cherchera la fonction potentielle d'espace 

 correspondante et pour Qj, Qg deux fonctions potentielles homogènes 

 propres à vérifier l'équation (40). Enfin, on déterminera K pour la sur- 

 face de la sphère au moyen des deux dernières équations (37) et on en 

 déduira la fonction potentielle, homogène et du degré n -f- 1, qui corres- 

 pond à cette valeur de K. 



7. — Après avoir ainsi déterminé un système de trois fonctions poten- 

 tielles Qj, Q^, K, on posera, conformément aux formules du n° 3 : 



H 



X-ffx)(?i — 2) d 



- [xa, -f yQ, -\- K] 



(42) { " 2(X 4- [x)n — À — 2 p. dp 



sia cos v(Qi — 9) — sin sin v{Q^ — ■];) -|- cos 3;^, 



i = sin 8 cos vE -q = sin 8 sin vR ^ := cos 8H 



et les équations à intégrer deviendront : 



/ (x_|_^)(,j_2)-[a;(Oi + 7/a>, + /.•] 



: [2(X-1- }x)n — X — 2;j.] [sin 3 cos y (wj — ;) + sin 3 sin u(w2 — -q) — cos ZQ , 



(X + [x)(n — 2) - [XLO, + yo,, -f /.■] 



(43) 



= [2(X -f- |x)n — X 



2a] [r cos cos fcoi -j- r cos 8 sin voi^], 

 d 



dv 



[Xi»^ + yto, + k] 



[2(X + ij.)n — A — 2{ji] [ — r sin 8 sin voi^ -\-r sin 8 cos via^]. 



