94 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



limaçons a pour point double un point I, pour cercle directeur le cercle de dia- 

 mètre ce et pour module yl\^ + R'-. L"axe de symétrie du limaçon joint le 

 point I au milieu de CC. 



Chacun des cercles C et C est bi-tam/ent au limaçon et les quatre points de 

 contact sont situés sur une ligne droite parallèle à CC 



Cette droite rencontre l'axe de symétrie 01 du limaçon en un point S dont on 

 détermine de remarquables propriétés. 



On étudie aussi d'autres points remarquables du limaçon, tels que ceux qui 

 sont situés sur les tangentes communes aux cercles C et C, et ceux pour lesquels 

 tune des tangentes rectangulaires aux deux cercles passe par le point 0. 



L'aire du limaçon est n{^a^ + R^ + R'^), en désignant CC par 2a. Lorsque 

 R2 _|_ R'2 — 4a2^ le limaçon devient une cardioïde. Dans ce cas, les deux cercles 

 C et C sont orthogonaux, et le point I, point de rebroussement du limaçon, est 

 un des points d'intersection des cercles C et C 



Propriétés dérivant des précédentes. — On démontre un grand nombre de lieux 

 géométriques intéressants, concernant soit le point T, soit le point S, soit les 

 sommets H et K du limaçon dans les cas suivants. 



Les points C, C restent fixes et les rayons R, R' varient de façon que : 



10 R -)- R' = K = constante ; 



2" R — R' = K =3 constante ; 



30 RR' = 1(2 = constante ; 



40 R2 -j- R'2 = K' = constante ; 



50 R'2 _ R2 — K2 — constante ; 



R' 

 6» -jj- = K =^ constante ; 



70 R =r K = constante ; 



111 



30 R "^ R^ ~ K ~ constante ; 



111 



90 -—— = -= constante ; 



1 1 1 



IQo R2 + "P ~ F ^ constante ; 



11" R2 ~ ÏT^ " R2 = constante ; 



12° Les centres C et C se déplacent, le point restant fixe et les rayons R 

 et R' restant constants. 



Propriétés relatives au limaçon de Pascal, en général, ou à la cardioïde. — On 

 obtient des propriétés d'un limaçon de Pascal qui dérivent, par une sorte de 

 réciproque des propriétés précédentes. 



Un limaçon de Pascal étant donné dont le cercle directeur a pour rayon a, 

 dont le module est b et dont le point double (ou pôle) du limaçon est I on mène 

 par I deux cordes rectangulaires IDDi et ID'Di : ces droites rencontrent le cercle 

 directeur du limaçon en leurs milieux C et C. 



Les points C et C sout 1rs centres de cercles de rayons R et R' bi-langenls au 

 limaçon et tels que R- + R'^ = ^"• 



Lorsque les droites IC et IC varient, on trouve des propriétés et des lieux 

 géométriques remarquables sur des lignes de la figure. 



