11C6 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Cette conique devient le cercle circonscrit pour un certain point P f du 

 plan. En taisant par rapport aux côtés AB et AC, puis BC et BA les 

 mêmes constructions que pour le point P c par rapport aux côtés CB et 

 CA, on trouverait des autres points P„ et P 6 pour lesquels la conique, 

 lieu du point analogue à M, serait le cercle circonscrit à ABC. Cela 

 posé : 



1° Les trois droites AI\, , BP ft , CP C se coupent au centre w des mé- 

 dianes antiparallèles du triangle ABC. 



2° Soit A' le point ou Aw coupe BC. 

 — A — AP, — BC. 



A' et A" sont conjugués harmoniques par rapport à B et à C. 



II. — 1° Si l'on considère tous les rectangles inscrits dans un triangle 

 ABC et dont l'un des côtés repose sur l'un des côtés BC du triangle, le 

 lieu du centre de ces rectangles sera la droite qui joint le milieu de BC 

 au milieu de la hauteur qui tombe sur BC. 



2° Les trois droites, qui dans un triangle, joignent le milieu d'un côté 

 de ce triangle au milieu de la hauteur tombant sur le côté, se coupent 

 au même point w centre des médianes anti parallèles du triangle 

 ABC. 



3° Le centre des médianes antiparallèles d'un triangle est le seul point 

 du plan de ce triangle qui soit le centre de trois rectangles inscrits 

 dans ce triangle. 



III. — 1° La conique inscrite dans un triangle, et qui a pour centre 

 le centre des médianes anliparaClèles , touche les côtés aux pieds des 

 hauteurs. 



2° La conique inscrite dans un triangle et dont l'un des loyers est 

 le centre des médianes antiparallèles , a pour autre foyer le centre de 

 gravité du triangle. On peut énoncer ce théorème sous la l'orme sui- 

 vante qui le rend presque évident : 



Dans un triangle ABC, la médiane et la médiane antiparallèle abou- 

 tissant au même sommet A sont symétriques par rapport à la bissectrice 

 de l'angle A. 



3° Le carré du 1/2 petit axe de la conique inscrite au triangle ABC, 

 et dont l'un des foyers est le centre des médianes antiparallèles, a pour 



4 S â 



valeur 



3 o* + 6*+c* 



la h le 



le 1/2 grand axe a pour valeur: 



* r, — |— /?, — |— / c " 



S, a, h, c, /„, //,, l c désignent respectivement la surface, les trois 

 côtés et les trois médianes du triangle. 



IV. — Si par les sommets d'un triangle ABC l'on mène des tangentes 



