E. LEMOINE. CENTRE DES MÉDIANES ANTIPARALLÈLES 11G7 



au cercle circonscrit a ce triangle, on forme avec ces tangentes un 

 triangle ABC tel que les droites AA', BB , CC se coupent au centre 

 ries médianes antiparallèles du triangle ABC. 



V. — 4° Si l'on prend CB et CA pour axes des x et des y, les coordon- 

 nées du centre des médianes antiparallèles du triangle ABC sont : 



ah* 



x = 



a'-b 



'■' a*+6 s 4-c*' 



2° Ce qui montre que les distances de ce point aux trois côtés sont 

 proportionnelles à ces côtés. 



3° Les coordonnées trilinéaires du centre des médianes antiparallèles 

 du triangle ABC, ce triangle étant pris pour triangle de référence, sont 

 sin A, sin B, sin C. 



VI. — Si du centre des médianes antiparallèles du triangle ABC, on 

 abaisse sur les côtés de ce triangle des perpendiculaires dont les pieds 

 sur BC, AC, AB, sont respectivement Aj, B,, C 4 , le point w est le centre 

 de gravité du triangle A,B|C,. Cette propriété est connue parce que le 

 centime des médianes antiparallèles coïncide avec le point, tel que la 

 somme des carrés des perpendiculaires abaissées de ce point sur les 

 trois côtés du triangle soit un minimum. 



VII. — Le lieu des points tels que la somme des carrés de leurs dis- 

 tances aux trois côtés d'un triangle est constante est une ellipse qui a 

 pour centre le centre des médianes antiparallèles du triangle. 



Nous ferons remarquer que la question de mathématiques élémentaires 

 proposée au concours d'agrégation en 1874 roule, sans le nommer, sur 

 les propriétés du centre des médianes antiparallèles. Dans le numéro de 

 décembre 1874 de la Nouvelle Correspondance mathématique, publiée en 

 Belgique par MM. Eug. Catalan et P. Mansion, M. Neuberg pu- 

 blie une solution de la question de mathématiques élémentaires donnée 

 au concours d'agrégation en 1873, et dans l'étude que lui suggère cette 

 question, il rencontre le centre des médianes antiparallèles; voici 

 l'énoncé du théorème de M. Neuberg. 



Soit ABC un triangle, (l , 0,,, O c les centres des cercles ex-inscrits 

 à ce triangle, inscrits respectivement dans les angles A, B, C, du 

 triangle. 



Les polaires de A, B, C, par rapport respectivement aux cercles ex- 

 inscrits de centre 0„, O b , O c , forment un triangle ABC. 



1° Les triangles ABC, 0„C\,0„ ont même centre K des médianes anti- 

 parallèles. 



