1170 .MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCÀNJQUE 



constitue la surface podaire de la surface de l'onde par rapport à son 

 centre o. 



La normale à cette surface podaire en p et la droite qui va du point 

 o au point de contact inconnu r sont dans un même plan et sont éga- 

 lement inclinées sur op. Nous aurions donc tout de suite r, si nous con- 

 naissions la normale en p à la surface podaire. Notre problème est ra- 

 mené ainsi à la construction de cette normale. 



Pour la déterminer, portons, sur op, un segment om t égal à om. Pen- 

 dant que le point m se déplace sur (E) le point m, décrit une certaine 

 surface. Cette surface et la surface podaire sont telles que pour deux 

 points p et m if situés sur la même droite, on a la relation 



opXom i =k % . 



D'après cela, une sphère contenant le point m { et tangente en p à la 

 surface podaire sera tangente en m { à la surface décrite par ce point. La 

 normale en m { à cette dernière surface et la normale en p à la surface 

 podaire sont donc dans un même plan et également inclinées sur op. 

 En rapprochant ce résultat de celui que nous avons déjà énoncé, 

 nous pouvons conclure que la droite or est parallèle à la normale en m, 

 à la surface lieu des points tels que m v . Cherchons donc cette normale 

 pour avoir tout de suite r. 



Le triangle mom { est rectangle isocèle et de grandeur variable. Consi- 

 dérons sur le plan de ce triangle les droites om et wm^ qui comprennent 

 entre elles un angle invariable de grandeur, quelle que soit la situation 

 du point m sur l'ellipsoïde. 



Pour un déplacement particulier du point m, le plan monii a un 

 foyer (1) que nous allons déterminer. Le point de la droite om qui vient 

 en o décrit un élément de cette droite, et la normale à cet élément dans 

 le plan mobile est op. 



La normale à la trajectoire du point m, quelle que soit la direction 

 du déplacement de m sur l'ellipsoïde, est toujours la normale mn à cette 

 surface. Le foyer du plan mobile est donc au point de rencontre /de op 

 et de mn. Nous pouvons remarquer, en outre, que ce foyer est toujours 

 le même, quel que soit le déplacement du point m et par suite quel que 

 soit le déplacement du plan mobile. Puisque f est le foyer du plan 

 o m m { la perpendiculaire [l abaissée du point / sur mm l est la normale 

 à la trajectoire du point l, et comme cette droite est perpendiculaire à 

 mm { , elle est aussi la normale à la surface réglée engendrée par mm t 

 pendant le déplacement du plan mobile. 



(1) A un instant quelconque du déplacement d'un plan, les plans normaux aux trajectoire» <i< 

 te* pointe se coupent en un mime punit Je ce plan. Ce point de rencontre est le foyer 'lu plan 

 mobile (CHASiES.). 



