A. MANNHEIM. — SURFACE DE L'ONDE M"| 



Considérons maintenant l'angle om t m de grandeur invariable. Pen- 

 dant le déplacement de cette figure le plan om^rn a un foyer. Nous 

 obtiendrons ce point, d'après ce que nous venons de dire, en élevant 

 au point o une perpendiculaire à op, c'est-à-dire en prolongeant ont et 

 en menant au point / la normale fl à la trajectoire de ce point. Ces 

 deux droites se coupent au point f { qui est le foyer cherché. Par suite, 

 la normale à la trajectoire décrite par m est /^w,, Mais dans le triangle 

 f { mm { nous avons déjà deux hauteurs, om i} l(\ : la droite mf est donc 

 la troisième hauteur. Nous voyons ainsi que, quel que soit le déplace- 

 ment du point m, et par suite du point m,, la normale à la trajectoire 

 de ce dernier point est la perpendiculaire abaissée de m { sur mn. Cette 

 perpendiculaire est donc la normale à la surface sur laquelle se déplace 

 le point m { . 



Et en nous reportant à ce que nous avons dit nous voyons que : on 

 a le point de contact r en abaissant du point o une perpendiculaire sur 

 mn et en prenant le point r où cette perpendiculaire rencontre le plan 

 pr. 



C'est cette construction du point de contact r que nous allons em- 

 ployer pour étudier les singularités de la surface de l'onde. Coupons 

 l'ellipsoïde par un plan diamétral donnant une section circulaire. On 

 peut appliquer la construction précédente à un point quelconque de cette 

 courbe. Quel que soit ce point, on aura toujours à porter, sur la per- 

 pendiculaire oq, au plan de ce cercle, une longueur constante oc/ et à 

 mener du point q un plan parallèle au plan du cercle. Ce plan tangent 

 à la surface de l'onde correspond à tous les points de la section circu- 

 laire. Mais selon le point choisi, ce plan tangent donne lieu à un point 

 de contact différent ; il touche donc la surface de l'onde suivant une 

 ligne. Cberchons la nature de cette ligne. 



D'après ce qui précède, les points de cette ligne sont sur les perpen- 

 diculaires abaissées du centre o sur les normales à l'ellipsoïde dont les 

 pieds sont des points de la section circulaire. Ces normales rencontrent 

 toutes la perpendiculaire oq, elles sont en outre perpendiculaires au 

 diamètre conjugué du plan de cette section. Appelons (Q) un plan per- 

 pendiculaire à ce diamètre, nous pouvons dire que les normales sont 

 parallèles aux droites suivant lesquelles les plans menés par oq coupent 

 le plan (Q). Il suffit donc d'abaisser du point o des perpendiculaires sur 

 ces droites pour avoir les perpendiculaires aux normales. 



Les droites du plan (Q) passent par un même point, ies perpendicu- 

 laires à ces droites qui sont issues du point o forment donc un cône du 

 second ordre dont la trace sur (Q) est une circonférence de cercle. Les 

 autres sections circulaires de ce cône ont leurs plans perpendiculaires à 

 oq, et comme le plan tangent à la surface de l'onde est perpendiculaire 



