1172 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



à cette droite la ligne de contact cherchée est une circonférence de cercle. 



Avant de passer aux points singuliers, nous pouvons remarquer qu'en 

 coupant l'ellipsoïde par un plan diamétral quelconque, on obtiendra 

 une section elliptique et que ce que nous venons de dire pour tous les 

 points d'une section circulaire s'applique aux quatre sommets de cette 

 section. 



De cette remarque résulte facilement le théorème suivant : 



Théorème. — On mène à un ellipsoïde et a la surface de l'onde qui 

 en dérive des plans tangents parallèles entre eux, les diamètres de ces 

 surfaces qui passent par les points de contact de ces plans et le diamè- 

 tre perpendiculaire à ces plans tangents rencontrent l'un quelconque 

 d'entre eux en quatre points appartenant à une circonférence de cercle 

 et qui sont les sommets d'un rectangle. Le diamètre perpendiculaire à 

 ces plans et le diamètre passant par le point de contact du plan tangent 

 à l'ellipsoïde contiennent les extrémités d'un diamètre de cette circonfé- 

 rence. Les traces de ces quatre diamètres sur un plan perpendiculaire au 

 diamètre qui contient le point de contact du plan tangent à l'ellipsoïde 

 sont aussi sur une circonférence de cercle. 



Reprenons la ligure précédente, abaissons la perpendiculaire ot sur 

 le plan tangent en m à l'ellipsoïde. On a en comparant les triangles 

 semblables otm et opr : 



ot X or = op x om = k- 



D'après cela, on peut considérer la surface de Tonde comme un lieu 

 de points tels que r qui correspondent aux plans tangents de l'ellipsoïde. 

 A un plan tangent mt à l'ellipsoïde correspond un point r qu'on obtient 

 ainsi : on abaisse du point o la perpendiculaire ot sur le plan tangent 

 en m, on joint le pied t de cette droite au point de contact m, on mène 

 du point o une parallèle à la droite tm et Ton porte sur cette droite une 

 longueur or égale à ~. Quant au plan tangent en r à la surface de 



l'onde, il est perpendiculaire au plan otm et sa trace sur ce plan est 

 parallèle à om. 



il résulte delà que, dans le cas particulier où les plans tangents à 

 l'ellipsoïde sont à une distance constante du centre o, les points de la 

 surface de l'onde qui leur correspondent sont aussi à une distance cons- 

 tante de ce centre, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à une ligne, splié- 

 rique. 



Si déplus les [dans tangents à l'ellipsoïde enveloppent un cylindre de 

 révolution, alors on ne trouve plus qu'un seul point, s (1) de la surface 

 de l'onde, correspondant à tous ces plans. 



(1) Je laisse de côté le point symétrique de s par rapport à », nui est aussi sur la surface de 

 l'onde. 



